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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?16/15，其中区域D由直线x?y?1与两坐标1．计算??D1?x?y轴所围成三角形区域.
解: 令x?y?u,x?v，则x?v,y?u?v，dxdy?det??1??01??dudv?dudv， ??1?y(x?y)ln(1?)ulnu?ulnvxdxdy???D1?x?y??D1?ududv
uulnuuudv?lnvdv)du??0001?u1?u 21ulnuu(ulnu?u)???du01?u1?u??(122
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??令t?1?u，则u?1?t2
10u2du （*） 1?udu??2tdt，u2?1?2t2?t4，u(1?u)?t2(1?t)(1?t)，
(*)??2?(1?2t2?t4)dt10
1?2?101?16?2 (1?2t2?t4)dt?2?t?t3?t5??3515??02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2?解: 令A??20f(x)dx?2, 则f(x)?____________.
?20f(x)dx，则f(x)?3x2?A?2，
A??20(3x2?A?2)dx?8?2(A?2)?4?2A,
410。因此f(x)?3x2?。 33解得A?x2?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________. 3．曲面z?2x2?y2?2在解: 因平面2x?2y?z?0的法向量为(2,2,?1)，而曲面z?2(x0,y0)处
的
法
向
量
为
(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)，故
(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)与(2,2,?1)平行，因此，由zx?x，zy?2y知2?zx(x0,y0)?x0,2?zy(x0,y0)?2y0，
即x0?2,y0?1，又z(x0,y0)?z(2,1)?5，于是曲面2x?2y?z?0在
(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x?2)?2(y?1)?(z?5)?0，即曲面
x2z??y2?2平行平面
22x?2y?z?0的切平面方程是2x?2y?z?1?0。
4．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则
d2y
?________________. dx2
解: 方程xef(y)?eyln29的两边对x求导，得
ef(y)?xf?(y)y?ef(y)?eyy?ln29
yf(y)因eln29?xe，故
11，因此 ?f?(y)y??y?，即y??x(1?f?(y))x33
全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
