Q△DEF∽△BAC，
?DEFE． ?BACAac??． xbab． ?x?c2. （1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC ∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ∴△DCF∽△ABC ∴
CDCFCDAF，即.∴AB·AF＝CB·CD ??ABCBABCB（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， ∴AC＝AB2?BC2＝152?92＝12，∴CF＝AF＝6
1∴y?(x?9)×6＝3x＋27（x＞0）
2②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小. 显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB. 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝
1159AB＝，EF＝. 222∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8. ∴DE＝DF＋FE＝8＋∴当x＝
925＝. 2212925时，△PBC的周长最小，此时y＝
223. 证明：（1）?四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形
?AD?CD,DE?DG,?ADC??EDG?90o,
??ADE??CDG,?△ADE≌△CDG，?AE?CG
（2）由（1）得 ?ADE??CDG,??DAE??DCG,又?ANM??CND，
?ANMN?，即AN?DN?CN?MNCNDN∴?AMN∽?CDN
4. Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS)
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得AH?3
A 由△AGF∽△ABC得：?G F x23?x3
解之得：x?C
232?3(或x?43?6)
B H D
解图 (2)
E 解法二：设正方形的边长为x，则BD? 在Rt△BDG中，tan∠B=
∴
x?3 2?x2232?3GDBD2?x2
，
解之得：x?(或x?43?6)
解法三：设正方形的边长为x，
则BD?2?x,GB?2?x 2由勾股定理得：(2?x)2?x2?(2?x2)2 解之得：x?43?6 Ⅱb.解： 正确
由已知可知，四边形GDEF为矩形
∵FE∥F’E’ ，
∴
FEFBF?E??F?B， 同理FGFBF?G??F?B， ∴
FEF?E??FGF?G? 又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形
5. 解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴?ABE∽?DCA (2)∵?ABE∽?DCA ∴
BECA?BACD 由依题意可知CA=BA=2 ∴
m2?2n ∴m=
2n 自变量n的取值范围为1 A G F G’ F’ B D’ D E’ E C 解图 (3) ∵m= 2 n∴m=n=2 1∵OB=OC=BC=1 2A ∴OE=OD=2－1 ∴D(1－2, 0) ∴BD=OB－OD=1-(2－1)=2－2=CE, DE=BC－ 2BD=2-2(2－2)=22－2 H B D E G C F ∵BD2＋CE2=2 BD2=2(2－2)2=12－82, DE2=(22－2)2= 12－ 82 ∴BD2＋CE2=DE2 (4)成立 证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°. 连接HD,在?EAD和?HAD中 ∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD2+HB2=DH2 即BD2＋CE2=DE2 6. 解：（1）Q?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10． Q点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2Q?DHB??A?90o，?B??B． ?△BHD∽△BAC， ?DHBDBD312，?DH??gAC??8?． ACBCBC105o（2）QQR∥AB，??QRC??A?90． A D P B 1 M 2 H Q R E C Q?C??C，?△RQC∽△ABC， RQQCy10?x，??， ??ABBC6103即y关于x的函数关系式为：y??x?6． 5（3）存在，分三种情况： ①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM． A Q?1??2?90o，?C??2?90o， D B H P E Q ??1??C． ?cos?1?cosC?QM484?， ?，?QP5105R C 1?3???x?6?425??，?x?18． ??12555312②当PQ?RQ时，?x?6?， 55A D B H E P R Q C ?x?6． ③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点， 11?CR?CE?AC?2． 24QRBAQtanC??， CRCA3?x?6156?5?，?x?． 228
中考数学专题复习 - 相似三角形（通用）
