圆锥曲线的性质及对偶性质 （必背的经典结论）
高三数学备课组
一、切线
22221.①圆x?y?R(R?0)上点P0(x0,y0)处的切线方程为x0x?y0y?R。
x2y2xxyy②若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1。
ababx2y2xxyy③若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1。
abab2④抛物线y?2px上点P0(x0,y0)处的切线方程为y0y?p(x?x0)；
抛物线x?2py上点P0(x0,y0)处的切线方程为x0x?p(y?y0)。
2.①若P0(x0,y0)在椭圆x?y?R(R?0)外 ，则过P0作圆的两条切线切点为P1、P2，则切
2点弦P1P2的直线方程是x0x?y0y?R。
2222x2y2P2，②若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、则切点弦P1P2
abxxyy的直线方程是02?02?1。
abx2y2③若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)外 ，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、
abx0xy0yP2，则切点弦PP的直线方程是?2?1。 122ab2④若P0(x0,y0)在y?2px外，则过P0作抛物线的的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的
直线方程是为y0y?p(x?x0)；若P0(x0,y0)在x?2py外，则过P0作抛物线的的两条切线 切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是为x0x?p(y?y0)。
2二、焦半径及焦点弦
x2y23.①F1(?c,0)、F2(c,0)，M(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，椭圆的焦半径（坐标式）
ab公式：|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0()。
x2y2x2y2F1(?c,0)、F2(c,0)，M(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，椭圆2?2?1(a?b?0)
abba的焦半径（坐标式）公式：|MF1|?a?ey0,|MF2|?a?ey0。 记忆规律：左?右?、下?上?。
x2y2②F1(?c,0)、F2(c,0)，双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径（坐标式）公式：
ba当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?e|x0|?a?ex0?a,|MF2|?e|x0|?a?ex0?a；
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|?e|x0|?a??ex0?a,|MF2|?e|x0|?a??ex0?a。
x2y2F1(0,?c)、F2(0,c)，双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径（坐标式）公式：
ba当M(x0,y0)在上支上时，|MF1|?e|y0|?a?ey0?a,|MF2|?e|y0|?a?ey0?a；
当M(x0,y0)在下支上时，|MF1|?e|y0|?a??ey0?a,|MF2|?e|y0|?a??ey0?a。 记忆规律：左?右?、下?上?，长正短负。 ③抛物线焦半径（坐标式）公式（p?0）：
抛物线 焦半径 y2?2px y2??2px x2?2py x2??2py p?|y| 2x2y2epb2?④椭圆2?2?1(a?b?0)的焦半径（倾斜角式）公式：|MF|?。
ab1?ecos?a?ccos?x2y2epb2?椭圆2?2?1(a?b?0)的焦半径（倾斜角式）公式：|MF|?。
ba1?esin?a?csin?记忆规律：长（焦半径）?短（焦半径）?。
x2y2⑤F1(?c,0)、F2(c,0)，双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径（倾斜角式）公式：
abepb2|MF|??。
|1?ecos?||a?ccos?||PF|?|PF|?x2y2F1(0,?c)、F2(0,c)，双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径（倾斜角式）公式：
baepb2|MF|??。
|1?esin?||a?csin?|记忆规律：长（焦半径）?短（焦半径）?。 ⑥抛物线的焦半径（倾斜角式）公式（p?0）：
pp（焦点在x轴上）； |PF|?（焦点在y轴上）。 |PF|?1?cos?1?sin?p?|x| 2
4.过圆锥曲线一焦点F的焦点弦AB的倾斜角为?（k?tan?），且AF??FB(??0)，则 当焦点F在x轴上时e?1?k|当焦点F在y轴上时e?1?2??1??11??1|?1?tan2?||?||； ??1??1|cos?|??11??11??11??1||?1?||?||。 k2??1tan2???1|sin?|??15.①椭圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离。 ②双曲线：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交。
6.①椭圆：以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
②双曲线：以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切：P在右支；外切：P 在左支）。
x2y27.①P为椭圆2?2?1(a?0,b?0)上任一点，F1、F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立。
x2y2②P为双曲线2?2?1(a?0,b?0)上任一点，F1、F2为二焦点，A为双曲线内一定点，
ab则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|，当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立。
三、焦点三角形
8.①椭圆
xy??1(a?b?0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??， a2b2222
则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?btan?2。
x2y2②双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上任意一点，
ab?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2cot?2。
x2y29.①设P点是椭圆2?2?1(a?0,b?0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记
ab2b2?2?F1PF2??，则 ⑴|PF1||PF2|?；⑵S?PF1F2?btan。
1?cos?2x2y2②设P点是双曲线2?2?1(a?0,b?0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，
ab2b2?2记?F1PF2??，则 ⑴|PF1||PF2|?；⑵S?PF1F2?bcot。
1?cos?2x2y210.①若P为椭圆2?2?1(a?0,b?0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2是焦点，
ab?PF1F2??，?PF2F1??，则
a?c???tancot。 a?c22x2y2②若P为双曲线2?2?1(a?0,b?0)右（或左）支上除顶点外的任一点，F1、F2是焦点，
ab?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）。 c?a22c?a22x2y211.①设椭圆2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1、F2，P（异于长轴端点）为椭圆上任意
ab?F1F2P??，一点，在?PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??，则有
sin?c??e。
sin??sin?ax2y2②设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1、F2, P（异于长轴端点）为双曲线上
ab任意一点。在?F1PF2中，记?F1PF2??,?PF1F2??,?F1F2P??,则有
sin?c??e。
?(sin??sin?)ax2y212.①设A、B是椭圆2?2?1(a?0,b?0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
ab?PBA??，?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有： 2ab2|cos?|2a2b22cot?。 ⑴|PA|?2；⑵tan?tan??1?e；⑶S?PAB?2a?c2cos2?b?a2x2y2②设A、B是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，
ab?PAB??，?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有： 2ab2|cos?|2a2b22cot?。 ⑴|PA|?2；⑵tan?tan??1?e；⑶S?PAB?22|a?c2cos2?|b?ax2y213.①若椭圆2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，则当
ab0?e?2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项。 x2y2②若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，则当
ab1?e?2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项。
四、直线与圆锥曲线、弦中点的轨迹方程或中点弦方程
x0xy0yx02y02x2y214.①若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被P0所平分的中点弦的方程是2?2?2?2。
abababx2y2②若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是
abx0xy0yx02y02?2?2?2。 2ababx2y2x2y2x0xy0y15.①若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2。
abababx2y2②若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)内，则过P0的弦中点的轨迹方程是
abx2y2x0xy0y?2?2?2。 2abab
高考数学二次曲线的经典性质
