2.2 函数的单调性与最值
核心考点·精准研析
考点一 函数的单调性(区间)
1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减少的是 ( ) A.y=1-x B.y=x+2x
2
2
C.y=-
2
D.y=
2.函数f(x)=ln(x-2x-8) 的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,-2) C.(1,+∞)
B.(-∞,1) D.(4,+∞)
3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 ( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
4.设函数f(x)=
A.(-∞,0] B.[0,1) C.[1,+∞) D.[-1,0]
g(x)=xf(x-1),则函数g(x)的递减区间是 ( )
2
【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(-∞,0]上是增加的;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(-∞,-1]上是减少的,在区间[-1,+∞)上是增加的;对于选项C,在区间(-∞,0]
上是增加的;对于选项D,因为y=
2
=1+.易知其在(-∞,1)上为减少的.
2.选D.函数有意义,则x-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).
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3.选D.特例法:设f(x)=x,则y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;则
y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=-=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调
性,C错.y=-f(x)=-x在R上为减函数,所以选项D正确.
4.选B.因为g(x)=作出函数图像如图所示,
所以其递减区间为[0,1).
判断函数单调性的方法
(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.
(2)图像法:从左往右看,图像逐渐上升,单调递增;图像逐渐下降,单调递减. (3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 其中(2)(3)一般用于选择题和填空题. 考点二 函数的最值(值域)
【典例】1.函数y=2.函数y=x+
的值域是________. 的最小值为________.
3.已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在
序号
上的值域为
联想解题 ,则a=________.【解题导思】
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1 由2 由x+,想到分离常数 ,想到利用函数的单调性或换元法求解 3 由-,想到反比例函数的单调性 【解析】1.(分离常数法)因为y==-1+,又因为1+x≥1,所以0<
2
≤2,所以
-1<-1+答案:(-1,1]
≤1,所以函数的值域为(-1,1].
2.方法一:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在其定义域[1,+
∞)内为增函数,所以当x=1时,y取最小值,即ymin=1. 方法二:令t=
2
,且t≥0,则x=t+1,
2
所以原函数变为y=t+1+t,t≥0.
配方得y=+,
又因为t≥0,所以y≥+=1. 故函数y=x+答案:1
的最小值为1.
3.由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上是增加的,
- 3 -
所以即解得a=.
答案:
求函数最值的常用方法
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.
(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
1.若函数f(x)=A.(-∞,2) C.[0,+∞)
B.(-∞,2] D.(-∞,0)∪(0,2)
x
则函数f(x)的值域是( )
【解析】选A.当x<1时,0<2<2, 当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0, 综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2).
2.函数y=的值域为________.
【解析】y===3+,
因为≠0,所以3+≠3,
所以函数y=答案:{y|y≠3}
的值域为{y|y≠3}.
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3.(2020·汉中模拟)设0 【解析】y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成 立.因为∈, 所以函数y=4x(3-2x)的最大值为. 答案: 考点三 函数单调性的应用 命 1.考什么:(1)考查比较大小问题、与抽象函数有关的不等式和已知单调性求参数解不等式等问题 题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养. 精 2.怎么考:与基本初等函数、单调性、最值交汇考查函数的单调性、图像等知识. 解 3.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主. 读 1.比较大小问题的解题思路 学 (1)利用函数的单调性判断两个值的大小. 霸 (2)寻找中间量比较两个数值的大小,经常利用1,0,-1等. 好 2.与抽象函数有关的不等式问题的解题策略 方 判断函数的单调性,并利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式,然后求解即可. 法 3.已知函数单调性求参数值的解题策略 依据函数的图像或单调性得出含有所求参数的不等式或方程,解该不等式或方程即可. 比较大小问题 【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设a=f ,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 ( ) - 5 -
2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.2函数的单调性与最值练习理北师大版
