第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解答和分析学习资料

第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解

答和分析

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第十三章习题解答

13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r1，r2。已知两导线中电流都为I?I0sin?t，其中I0和?为常数，t为时间。导线框长为a宽为b，求导线框中的感应电动势。

题图13-1 题图13-2

分析：当导线中电流I随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律?i??d?计算感应电动势，其中磁通量???BdS，B为两导线

sdt产生的磁场的叠加。

解：无限长直电流激发的磁感应强度为B??0I2?r。取坐标Ox垂直于直导线，坐标原点取

在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场

强的叠加原理可得x处的磁感应强度大小

B??0I2?(r1?x)??0I2?(r2?x)， 垂直纸面向里

通过微分面积dS?adx的磁通量为

??0I?0I?d??BdS?BdS????adx

?2?(r1?x)2?(r2?x)?通过矩形线圈的磁通量为

??0I?0I???????adx 02?(r?x)2?(r?x)?12?b??0a?r1?br2?b?ln?ln??I0sin?t 2??r1r2?感生电动势

?i??????a?r?br?b?d???0?ln1?ln2?I0cos?tdt2??r1r2??0?a?(r?b)(r2?b)?I0?ln1?cos?t2?rr?12?

?i?0时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；?i?0时，回路中感应电动势的实际

方向为逆时针。

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13-2 如题图13-2所示，有一半径为r=10cm的多匝圆形线圈，匝数N=100，置于均匀磁场B中（B=0.5T）。圆形线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动，转速n=600rev/min。求圆线圈自图示的初始位置转过?/2时，

(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R=100?，不计自感）； (2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。

分析：应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 解：(1) 圆形线圈转动的角速度?=2?n?20? rad/s 60设t=0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t时刻通过该回路的全磁通

??NBS?NBScos?t?NB?r2cos?t

电动势 ?i??d??NB?r2?sin?t dtNB?r2?sin?t?感应电流 Ii? RR?i将圆线圈自图示的初始位置转过?/2时，?t?代入已知数值 得： Ii?0.99A

?2

(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为

Bi?N?0Ii2r?6.22?10?4T

Bi的方向与均匀外磁场B的方向垂直。

13-3 均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。设磁场以

dB??1T/s的匀速率增加，已知Oa?Ob?6cm，??，求等腰梯形回dt3路abcd感生电动势的大小和方向。

题图13-3 题图13-4

分析：求整个回路中的电动势，采用法拉第电磁感应定律，本题的关键是确定回路的磁通

量。

解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t时刻通过该回路的磁通量

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