换底公式的课后经典练习

2.2.1.3

一、选择题

1．下列各式中不正确的是( )

[答案] D

[解析] 根据对数的运算性质可知：

2．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝( ) A．1 C．3 [答案] C

[解析] log23·log34·log45·log56·log67·log78＝选C.

3．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于( ) 2a＋bA. 1＋a2a＋bC. 1－a[答案] C

lg122lg2＋lg32a＋b

[解析] log512＝＝＝，故选C.

lg51－lg21－a4．已知log72＝p，log75＝q，则lg2用p、q表示为( ) A．pq p

C. p＋q

qB. p＋qpqD. 1＋pq

a＋2bB. 1＋aa＋2bD. 1－a

lg3lg4lg5lg6lg7lg8lg8

×××××＝＝3，故lg2lg3lg4lg5lg6lg7lg2

B．2 D．4

[答案] B

[解析] 由已知得：log72pp

log＝q，∴log7552＝q

变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝pq，∴lg2＝p

p＋q，故选B.

5．设x＝ ，则x∈( )

A．(－2，－1) B．(1,2) C．(－3，－2)

D．(2,3)

[答案] D

[解析] x＝

＝log310∈(2,3)，故选D.

6．设a、b、c∈R＋

，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是( )

A.1c＝11

a＋b B.221c＝a＋b C.1c＝22a＋b

D.2c＝12a＋b

[答案] B

[解析] 设3a＝4b＝6c＝m， ∴a＝logm3，b＝logm4，c＝logm6， ∴1a＝log11

m3，b＝logm4，c＝logm6， 又∵log6＝log111

mm3＋logm2，c＝a＋2b，即

2c＝2a＋1

b

，故选B. 7．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b ，则logab＋logba等于( A．1 B．－2 C．－103

D．－4

[答案] C

[解析] 由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3

那么loglgblgalg2b＋lg2

a

ab＋logba＝lga＋lgb＝lgalgb

) (lga＋lgb)2－2lgalgb4＋610＝＝＝－，故选C.

lgalgb3－3

2

8．已知函数f(x)＝2＋lg(x＋x2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈( )

xA．2.62 C．1.62 [答案] B

[解析] f(－1)＝2＋lg(2－1)，f(1)＝2＋lg(2＋1) 因此f(－1)＋f(1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选B. 二、填空题

9．设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________. [答案]

2

2＋3ab

B．2.38 D．0.38

3lg33a

[解析] 由log89＝a得log23＝a，∴＝，

2lg22lg5

又∵log35＝＝b，

lg3∴∴

lg3lg53

×＝ab， lg2lg321－lg23

＝ab， lg22

2∴lg2＝.

2＋3ab

10．已知logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，那么式子logabcx＝________. [答案] 1

111

[解析] logx(abc)＝logxa＋logxb＋logxc＝＋＋＝1，

236∴logabcx＝1.

11．若logac＋logbc＝0(c≠1)，则ab＋c－abc＝______. [答案] 1

[解析] 由logac＋logbc＝0得：

lg(ab)

·lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1， lgalgb

∴ab＋c－abc＝1＋c－c＝1.

11

12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线减弱到原来的以下，至少要103这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．

[答案] 11

[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n块玻璃板后的强度为(1－

1n

).由题意(1－10

－lg30.47711n111

)<，两边同时取对数得nlg(1－)＝≈10.42 1031032lg3－10.0458

故至少需要11块玻璃板． 三、解答题

13．已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值． [解析] log416＝2，log34·log48·log8m＝log3m＝2， ∴m＝9.

1

14．计算(lg＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log210.

2

1

[解析] (lg＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log210

2＝

－1＋10

×12＝54. 2

15．若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系． [解析] 设25a＝53b＝102c＝k， 111则a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.

532111∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，

5a3b2c又logk2＋logk5＝logk10，∴

111

＋＝. 5a3b2c

12

16．设4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．

ab[解析] a＝log4m，b＝log5m.

12

∴＋＝logm4＋2logm5＝logm100＝1，∴m＝100. ab

17．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值． [解析] ∵f(x)的最大值等于3

lga<0??

∴?16lg2a－4

＝3，∴(4lga＋1)(lga－1)＝0??4lga

1

1－

∵lga<0，∴lga＝－，∴a＝104.

4