阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。 ——培根
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．
2
1111??A．3 B．3 C．9 D．9
4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lβ，则( )．
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
52
5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．
α，
l1111+???10 A．231111+???10! B．2!3!1111+???11 C．231111+???11! D．2!3!7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，
(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
?x?1,?9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件?x?y?3,若z＝2x＋y的最小值为1，则
?y?a?x?3?.?a＝( )．
11A．4 B．2 C．1 D．2
学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
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10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
2
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为
直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为
面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．
??21?21??11?1?,1?,????,?????2223? C．?? D．?32? A．(0,1) B．?第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD＝__________. 14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之
1，则n＝__________. 14π?1?15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tan?????，则sin θ＋cos θ＝__________.
4?2?和等于5的概率为
16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值
为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
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18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的
中点，AA1＝AC＝CB＝2AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)
表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
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x2y220．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2?2=1(a＞bab1＞0)右焦点的直线x?y?3?0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
x21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
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请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
?x?2cost,已知动点P，Q都在曲线C：?(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，
y?2sint?M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
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2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
