课时作业7 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本
定理
时间:45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1.在以下三个命题中,真命题的个数是( C )
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线; ③若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则a,b,c构成空间的一个基底.
A.0个 C.2个
B.1个 D.3个
解析:③中向量a,b,c共面,故a,b,c不能构成空间向量的一个基底,①②均正确. 2.已知点A在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底i,j,k下的坐标是( A )
A.(12,14,10) C.(14,12,10)
B.(10,12,14) D.(4,3,2)
解析:设点A在基底a,b,c下对应的向量为p,则p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故点A在基底i,j,k下的坐标为(12,14,10).
1→3.如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是平面A′B′C′D′的中心,a=AA′,
2
b=AB,c=AD,AE=xa+yb+zc,则( A )
1→21→→3
3
A.x=2,y=1,z= 211
B.x=2,y=,z= 22
11
C.x=,y=,z=1
22113D.x=,y=,z= 222
3→→→→1→→
解析:AE=AA′+A′E=AA′+(A′B′+A′D′)=2a+b+c.
224.下列等式中,使M,A,B,C四点共面的个数是( B ) →→→→
①OM=OA-OB-OC; →1→1→1→②OM=OA+OB+OC;
632→→→
③MA+MB+MC=0; →→→→
④OM+OA+OB+OC=0. A.1 C.3
B.2 D.4
→→→→→→
解析:由题意,M,A,B,C四点共面,则OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)或MC=xMA+
yMB(x,y∈R).
→→→→
对于①,OM=OA-OB-OC不满足x+y+z=1,不成立. →1→1→1→
对于②,OM=OA+OB+OC满足x+y+z=1,成立.
632→→→→→→
对于③,MA+MB+MC=0,可化为MC=-MA-MB,成立.
→→→→→→→→
对于④,OM+OA+OB+OC=0,可化为OM=-OA-OB-OC,不满足x+y+z=1,不成立. →→→
5.若O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,则( D ) →→→
A.OA,OB,OC共线 →→
C.OB,OC共线
→→
B.OA,OB共线
D.O,A,B,C四点共面
→
→→→→→→
解析:∵OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,∴OA,OB,OC三个向量共面,∴O,A,
B,C四点共面.故选D.
→→
6.已知线段AB的长度为62,AB与直线l的夹角为120°,则AB在l上的投影为( B ) A.32 C.36
B.-32 D.-36
→
解析:AB在l上的投影为:|AB|·cos120°=-32.
→→→→
7.在空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,若OA=a,OB=b,OC=c,则OG等于( A ) 111A.a+b+c 333C.a+b+c
111B.a+b+c 222D.3a+3b+3c
1→→→1→→
解析:如图,取AB的中点M,连接CM,则必过G点,则CM=(CA+CB)=[(OA-OC)
2211→→
+(OB-OC)]=a+b-c.
22
→
CG=CM=a+b-c,
→→→111所以OG=OC+CG=a+b+c.
333
8.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2
2→1
331
323
+e3,d=e1+2e2+3e3,又d=αa+βb+γc,则α、β、γ分别为( A )
51A.,-1,- 2251C.-,1,-
22
51
B.,1, 2251D.,1,- 22
解析:d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3.又因为d=e1+2e2+3e3,
α+β+γ=1,??
所以有:?α+β-γ=2,
??α-β+γ=3.
二、填空题
??解得?β=-1,
1γ=-??2.
α=,
5
2
→→
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,CC1=1,则AC1在BA上的投影是-2.
|AB|→→→→→
解析:AC1在BA上的投影为|AC1|·cos〈AC1,BA〉,在△ABC1中,cos∠BAC1==
|AC1|
266??→→→→==,又|AC|=6.∴|AC|·cos〈AC,BA〉=6×111?-?=-2. 222
?3?2+1+1632
→→→
10.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC211→
的中点,MN在基底{a,b,c}下的坐标为(-,,).
322
2
解析:∵OM=2MA,点M在OA上,∴OM=OA,
3
211211→→→→1→→
∴MN=MO+ON=-OM+(OB+OC)=-a+b+c=(-,,).
2322322
11.如图,在三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC11→→→→
的中点,N为AC中点,以{BA,BC,BP}为基底,则MN的坐标为(,0,-).
22
1?1→→1→1→→→→1→→→?1
解析:MN=BN-BM=(BA+BC)-(BP+BC)=BA-BP,即MN=?,0,-?.
2?2222?2三、解答题
12.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出
→
→→
→
→
→
→
A,B,C,D,A1,B1,C1,D1各点的坐标,并写出DA,DB,DC,DC1,DD1,DA1,DB1的坐标表
示.
解:∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),
A1(1,0,1),B1(1,1,1),
C1(0,1,1),D1(0,0,1).∴DA=(1,0,0),DB=(1,1,0),DC=(0,1,0),DC1=(0,1,1),DD1=(0,0,1),DA1=(1,0,1),DB1=(1,1,1).
13.如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,点E在AC′上,且AE
→→→→
→→→
EC′=1
2,点F,G分别是B′D′和BD′的中点,求下列各式中的x,y,z的值.
→→→→(1)AE=xAA′+yAB+zAD; →→→→(2)BF=xBB′+yBA+zBC; →→→→(3)GF=xBB′+yBA+zBC. 解:(1)∵AEEC′=12,
→1→1→→→∴AE=AC′=(AB+BC+CC′)
331→→→=(AB+AD+AA′) 31→1→1→=AA′+AB+AD, 333111∴x=,y=,z=.
333(2)∵F为B′D′的中点, →1→→∴BF=(BB′+BD′)
21→→→→
=(BB′+BA+AA′+A′D′) 21→→→=(2BB′+BA+BC) 2→1→1→=BB′+BA+BC,
2211
∴x=1,y=,z=.
22
(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点, →1→
∴GF=BB′,
21
∴x=,y=0,z=0.
2
——能力提升类——
→→
14.设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA
2021学年高中数学2.3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理解析北师大版选修2_1
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