第3课时 圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题
课后训练案巩固提升
一、A组
1.(改编题)若直线y=x+m与椭圆 =1相切,则实数m的值等于( )
A.±6 B.± C.± D.±4
22
解析:由 消去y得3x+4mx+2m-4=0,
2
因此有Δ=-8m+48=0,解得m=± . 答案:B 2.(2016山东淄博高二检测)直线y=2x与双曲线-y=1公共点的个数为( )
2
A.0 2
B.1
C.2
D.4
解析:双曲线-y=1的渐近线方程为y=±x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2x与该双曲线无公共点. 答案:A 22
3.(2017河南平顶山高二月考)过双曲线x-y=1的一个顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于( ) A.
B.
C.1 D.
解析:因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为 ,所以围成矩形的面积是 答案:A 4.(2017河北正定高二月考)F1,F2分别为椭圆 +y=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y-2=0(x≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则 的值为( ) A.2
B.
2
.
C.- D.随点P的位置而变化
解析:由已知得F1(-1,0),F2(1,0),
则有k1= ,k2=,
- 因此
-
- -
-
, 又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上, 所以
=2.
答案:A 5.设椭圆C: =1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM与PN的斜率之积为 .
解析:M(-2,0),N(2,0),设P(x0,y0),
于是kPM·kPN=
-
-
=
- -
=- .
2
答案:-
于 .
6.已知斜率为1的直线l过椭圆 +y=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等解析:椭圆右焦点为( ,0),所以
所以|AB|= |x1-x2|= .
- 2
整理得5x-8 x+8=0,
答案: 7.已知椭圆 =1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点 M,N.
(1)求椭圆的方程; (2)若|MN|=
,求直线MN的方程.
解:(1)由题意有
=1,e=
,a2-b2=c2
, 解得a= ,b= ,c= , 所以椭圆方程为 =1.
(2)由题易知点B(3,0)在椭圆外,
又直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可知直线MN斜率存在,设直线MN方程为y=k(x-3),
代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,Δ=24-24k2>0,得k2
<1. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x 1+x2=
,x1x - 2=
, |MN|=
- - = -
= -
, 解得k=± 2
,满足k<1, 故所求直线方程为y=± (x-3). 8.(2017辽宁大连高二月考)已知椭圆E:
=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为 c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=
的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程. 解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,
则原点O到直线的距离d= ,
由d=
c,得a=2b=2 - , 解得离心率
. (2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2
.
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点, 且|AB|= .
易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2
=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x
- 1+x2=- ,x1x2=- .
由x 4,解得k=
1+x2=-4,得-=-2
.
从而x1x2=8-2b.
①
高中数学模块复习课第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题课后训练案巩固提升（含解析）选修1 - 1
