2024届河北省衡水中学高三年级数学(文)考试试题及答案解析

（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；

（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；

（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市同组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.

【答案】（1）0.32 ；（2）众数是170，中位数是168.25 ；

4（3）5

【解析】（1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；

（2）利用频率分布直方图能求出众数和中位数； 0.12＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，（3）共50×

女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率． 【详解】

（1）被采访人拾好在第2组或第6组的概率

p?4?0.07?4?0.01?0.32. 168?172（2）众数：2?170；

设中位数为x，则

0.05?4?0.07?4??x?168??0.08?0.2?0.28??x?168??0.08?0.5

∴中位数x?0.5?0.48?168?168.25. 0.08（3）共50?0.12?6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，则任选2人，

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可能为?a,b?，?a,c?，?a,d?，?a,e?，?a,f?，?b,c?，?b,d?，?b,e?，

?b,f?，?c,d?，?c,e?，?c,f?，?d,e?，?d,f?，?e,f?，共15种，

其中两个全是男生的有?a,b?，?a,c?，?b,c?，共3种情况， 设事件A：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率P?A??1?15?5. 【点睛】

本题考查概率、众数、中位数的求法，考查频率分布直方 图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为23的菱34形，?BAD?60，点E是棱BC的中点，DE?AC?O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．

(1)求证：平面PED?平面BCF；

(2)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱锥F-ABED的体积．【答案】（1）见解析；（2）332

【解析】（1）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF；

（2）取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG∥DE，进而BG∥平面PDE，平面BGF∥平面PDE，由此能求出四

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棱锥F﹣ABED的体积． 【详解】 证明：?1?依题意

PO?平面

ABCD，BC?平面ABCD，?BC?PO，

?BC?DE， 为棱BC的中点，

BCD是等边三角形，E

又PO?DE?O，PO，DE?平面PED，?BC?平面PED，

BC?平面

BCF，?平面PED?平面BCF．

解：(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，

底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，?BG//DE，

BG?平面BF//平面

PDE，DE?平面PDE，?BG//平面PDE， PDE，BF?BG?B，?平面BGF//平面PDE，

又平面BGF?平面PAD?GF，平面PDE?平面PAD?PD，

?GF//PD，?F为

S四边形ABED?PA的中点，

，

3193??23?23?sin60?222点F到平面ABED的距离为d??四棱锥F?ABED的体积：

PO?1， 2119333VF?ABED??S四边形ABED?d???1?3322．

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

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20．设椭圆

x2y2C：2?2?1(a?b?0)的左顶点为

abA，上顶点为

B，已知直线AB

1的斜率为2，AB?5.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l:x?my?1与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外（其中O为坐标原点），求m的取值范围.

11x2【答案】（1）?y2?1（2）(?2,2)

4【解析】(1)由已知条件列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，得到椭圆方程

(2)由题意中点O在以MN为直径的圆外转化为?MON为锐角，即OM?ON?0，设出点M、N的坐标代入求出m的取值范围 【详解】

（1）由已知得：A??a,0?，B?0,b?，

b1???a2结合已知有?， ?a2?b2?5?可得a2?4，b2?1，

x2则椭圆的方程为4?y2?1.

?x?my?1?（2）设M?x1,y1?，N?x2,y2?，由?x2?y2?1得

??4?m2?4y2?2my?3?0.

2m?3yy?，12m2?4， m2?4第 1 页 共 4 页

?故y1?y2?

???2m??124?m2?16m2?48?0.

2??由题意得?MON为锐角?OM?ON?0， ∴OM?ON?x1x2?y1y2?0， 又x1x2??my1?1??my2?1??m2y1y2?m?y1?y2??1

x1x2?y1y2?1?m2y1y2?m?y1?y2??1

????32m21?4m21?m???1??0 2224?m4?m4?m2?∴m2?4，解得?2?m?2.

?11?m∴的取值范围为??2,2?.

??111【点睛】

本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在求解过程中将其转化为向量的夹角问题，运用向量知识求解，设而不求，解得m的取值范围，属于中档题 21．已知函数f?x??lnx?a?x?1?， 与x轴平行.

（1）求f?x?的单调区间；

（2）若存在x0?1，当x??1,x0?时，恒有成立，求k的取值范围.

1) 减区间(1,??) (2) 【答案】(1)增区间 （0，(??,1).

a?R在点?1,f?1??处的切线

x21f?x???2x??k?x?1?22【解析】试题分析：?1?先求出函数的导数，令导函数大于

0，解出即可；

x21（2）构造新函数g?x??lnx?2?x?2?k?x?1?，求导，分类讨

论k的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果

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