2.3 数学归纳法
填一填
1.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的框图表示
判一判 1.与正整数n有关的数学命题只能用数学归纳法证明．(×) 2．数学归纳法证明的第一步n0的初始值只能是1.(×) 3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．(√)
4．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(×)
5．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(×)
6．使用数学归纳法证明命题时，第一步验证n0(n0∈N*)有时可以省略．(×)
7．在数学归纳法证明中，第二步可以直接证明的，不需用归纳假设也可以．(×) 8．多米诺骨牌游戏中骨牌链能够成功被推倒，使用的是数学归纳法的思想．(√)
想一想 1.数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？ 数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立． 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张．
数学归纳法的第二步：假设当n＝k时命题成立， 并证明当n＝k＋1时命题也成立．
相当于多米诺骨牌第k张倒后第k＋1张是否也会跟着倒．
2．你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么条件？ 多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件：
(1)第一块骨牌被推倒．(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．
3．应用数学归纳法要注意哪些方面？ 应用数学归纳法要注意以下几点：
(1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的． (2)第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法． (3)n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数． (4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法． 4．数学归纳法证题的三个关键点是什么？ (1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
感悟体会
练一练 1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
解析：当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.
答案：C
－
2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( )
－－＋
A．1＋2＋22＋…＋2k2＋2k1＝2k1－1
＋＋
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k1＝2k－1＋2k1
－＋＋
C．1＋2＋22＋…＋2k1＋2k1＝2k1－1
－＋
D．1＋2＋22＋…＋2k1＋2k＝2k1－1
解析：将式子1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中的n用k＋1代换，得到n＝k＋1时，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1，故选D.
答案：D
3．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( )
A．6＋6·7k B．2＋7k1
＋
C．2(2＋7k1) D．3(2＋7k)
解析：当k＝1时，A中代数式的值为48，B中代数式的值为3，C中代数式的值为102，D中代数式的值为27，显然，只有D中代数式能被9整除，故选D.
答案：D
－
4．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
解析：当n＝1时，原式应加到25所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
＋＋＋＋
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k1＋25k2＋25k3＋25k4
×1－1
－
＝24，
知识点一 用数学归纳法证明等式 1.若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立，现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确
解析：由已知可得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立，在n＝n0＋1时命题成立的前提下，可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立．以此类推可知命题对大于或等于n0的正整数都成立，但命题对小于n0的正整数成立与否不能确定．
答案：C
1111n
2．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝.
2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?
111
证明：(1)当n＝1时，左边的＝，右边＝等式成立．
82×48
1111k
(2)假设n＝k时，等式成立，即＋＋＋…＋＝成立．
2×44×66×82k?2k＋2?4?k＋1?
当n＝k＋1时，
11111k1＋＋＋…＋＋＝＋＝2×44×66×82k?2k＋2??2k＋2??2k＋4?4?k＋1??2k＋2??2k＋4?＝＝＝. 4?k＋1??k＋2?4?k＋1??k＋2?4?k＋2?4[?k＋1?＋1]
所以n＝k＋1时，等式成立．
由(1)、(2)可得对一切n∈N*，等式成立．
知识点二 用数学归纳法证明不等式 1111273.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1>(n∈N*)成立，其初始值最小应取
24642
( ) k?k＋2?＋1
?k＋1?2
k＋1
k＋1
A．7 B．8 C．9 D．10
11－n2127111
解析：1＋＋＋…＋n1＝>，整理得2n>128，∴n>7，又n∈N*，∴n的初始
242－1－164
2值最小应取8，故选B.
答案：B
1115
4．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
3n6n＋1n＋2
1111195
证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．
3456206
(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N*)时命题成立，
1115即＋＋…＋>. 3k6k＋1k＋2
那么当n＝k＋1时，
1111111111
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＋3k3k＋13k＋23?k＋1?k＋1k＋23k3k＋1?k＋1?＋1?k＋1?＋2
1115?1＋1＋1－1?5?1＋1＋1－1?＋－>＋??>＋??＝3k＋23k＋3k＋16?3k＋13k＋23k＋3k＋1?6?3k＋33k＋33k＋3k＋1?5. 6
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立. 知识点三 用数学归纳法证明整除问题 5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳递推应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确
解析：因为n为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写为：假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推出n＝2k＋1时正确，故选B.
答案：B
＋＋＋＋＋
6．用数学归纳法证明34n2＋52n1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k1)2＋52(k
1)＋1应变形为________．
解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝2534k＋2＋52k＋1＋56×34k＋2.
答案：25(34k2＋52k
＋
＋1
()
)＋56×34k＋2 综合知识 归纳—猜想—证明 17.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
3
1
A. ?n－1??n＋1?
1B. 2n?2n＋1?
1
C. ?2n－1??2n＋1?
1
D. ?2n＋1??2n＋2?
111
解析：由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2×(2×2－1)·a2，∴a1＋a2＝6a2，∴a2＝a1＝
3515
111111＝，S3＝3×(2×3－1)·a3，∴＋＋a3＝15a3，∴a3＝＝，同理a4＝，由此猜
315355×73×57×9
1
想an＝，故选C.
?2n－1??2n＋1?
答案：C
111131
8．已知f(n)＝1＋3＋3＋3＋…＋3，g(n)＝－2，n∈N*.
234n22n
(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
解析：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，∴f(1)＝g(1)；
911
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，∴f(2) 88251312 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，∴f(3) 216216(2)由(1)的结果，猜想f(n)≤g(n)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设n＝k(k≥3)时，不等式成立． 11131即1＋3＋3＋…＋3≤－2， 23k22k那么，n＝k＋1时， 1311 f(k＋1)＝f(k)＋≤－＋ 2 ?k＋1?322k?k＋1?31?12－1? 因为－?2k?k＋1?3? 2?2?k＋1??＝＝ 1 －2 32k2?k＋1?－3k－1k＋3 <0， 2k2?k＋1?3 31 ∴f(k＋1)≤－＝g(k＋1)． 22?k＋1?2 由①②可知，对一切n∈N*都有f(n)≤g(n)成立．
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.3数学归纳法 Word版含解析
