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4.2 定积分与微积分基本定理 导学及相关定理
定理：如果f(t)是连续函数，并且f(t)?F?(t)，那么
这就是微积分基本定理。
?baf(t)dt?F(b)?F(a)，
定义引例：一个物体依照s?s(t)规律在直线上运动，它在某一时刻t0的运动速度
v(t0)（即瞬时速度或瞬时变化率）为s?s(t)在t0时刻的导数，即v(t0)?s?(t0)。今考虑s(t)在t?a到t?b之间位置的总变化。我们把区间a?t?b分割成n个小区间，不妨假设小区间的长度相等，其长度为?ti。对每一个小区间，我们假设s(t)的变化率近似为某一常量，于是我们可以说：?s?
s(t)的变化率?时间；
在第一个小区间内，即从t0到t1，假设s(t)的变化率近似地为s?(t0),于是有
?s0?s?(t0)?t0，?t0?t1?t0
同样，对第二个小区间，即从ti到t2，假设s(t)的变化率近似地为s?(t1),因此有
?s1?s?(t1)?t1，?t1?t2?t1，?等等。
把在所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得到
s的总变化=??si??s?(ti)?ti。
i?0i?0n?1n?1我们把s(t)在t0?a到tn?b之间位置的总变化写成s(b)?s(a)。另一方面，当分割无限加细、n趋于无穷时，和式?s?(ti)?t=?v(ti)?t的极限就是定积分?v(t)dt或
i?0i?0an?1n?1b?s?(t)dt，
ab也就是s(t)在t?a到t?b之间位置的总变化。于是，我们可得到以下结论： s(b)?s(a)=
?bas?(t)dt=?v(t)dt ，
ab也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。
特别地，当物体作匀速运动时，即v(t)?v时，s(b)?s(a)?v(b?a)??v(t)dt。
ab高中数学
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当物体作匀加速运动时，即v(t)??t（其中?是常数）
b1s(b)?s(a)??(b2?a2)???tdt。
a2定理1：若函数
在上连续。则由变动上限积分
在
上可导，而且
定义的函数证： 在
。
中任取一点 ，由积分中值定理有
其中夹在与之间，当
时， 由于 连续，故上式的极限为
评述：本定理沟通了导数和定积分概念之间的内在联系，同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论。
定理2： 设
在上连续，而是
在上的一个原函数，则
证： 由上面定理得：从而
。因而
亦是 的一个原函数，故 。
评述：因为求原函数F的问题可由不定积分法求得，因此牛顿-莱布尼兹公式使得定积分计算切实可行。求定积分的问题将归结为求原函数的问题，求不定积分的方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法均可移植到定积分计算中来。
例题讲解
例1．计算定积分
高中数学
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解：
评述：在使用换元积分法计算定积分时，在换元之后可将积分限作相应的改变，而不需要作变量还原。
例2．计算
解： 令
，则当 从0变到
时， 从0递增到1，故有
例3． 计算
解： 令
，则当 从0变到 时，从0递增到1，又
，故
，从而
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数学高二-选修2素材 4.2《定积分与微积分基本定理》导学及相关定理
