2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)
曲
线
x2?xy?2x?1渐近线的条数为
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
?(enx?n)，其中n为正整数，则f'(0)?
(3)设函数f(t)连续，则二次积分
?20d??22cos?f(r2)rdr?
( )
(A) (C)
(4)已知级数 ?(?1)n?1?n?2020dx?4?x22x?x2x?yf(x?y)dy (B)
2222?20dx?4?x22x?x2f(x2?y2)dy
?dy?4?y221?1?yx?yf(x?y)dx (D)
2222?20dy?4?y221?1?yf(x2?y2)dx
1nsin?绝对收敛，级数
n(?1)n条件收敛，则 ?2??n?1n?( )
(A) 0???1313 (B) ???1 (C) 1??? (D) ???2 2222?1???1??0??0?????????(5)设?1??0?,?2??1? ,?3???1? ,?4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量
?c??c??c??c??3??4??1??2?组线性相关的为( )
(A)?1,?2,?3 (B) ?1,?2,?4 (C)?1,?3,?4 (D)?2,?3,?4
?100??? (6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P?(?1,?2,?3)，
?002????1Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ? ( )
1
?100???(A) ?020? (B) ?001???
?100??? (C) 010???002????200??200??? (D)?? 010020?????002??001????? (7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则PX2?Y2?1? ( ) (A)
??11?? (B) (C) (D) 4284 (8)设X1,X2,X3,X4为来自总体N(1,?2)(??0)的简单随机样本，则统计量的分布为 ( )
(A) N（0,1） (B) t(1) (C) ?2(1) (D)F(1,1 ）二、填空题：9 (9)lim?tanx?x?X1?X2|X3?X4?2|14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
1cosx?sinx??
4?dy?lnx,x?1(10)设函数f?x???， y?f?f?x??，则
dx??2x?1,x?1(11)设连续函数z?f(x,y)满足limx?0y?1?
x?ef(x,y)?2x?y?2x?(y?1)22?0则dz|?0,1?? (12)由曲线y?
4
和直线y?x及y?4x在第一象限中围成的平面图形的面积为 x
(13)设A为3阶矩阵，A?3，A*为A的伴随矩阵。若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则BA*? 11,P(C)?,则P(AB|C)? 23三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．
(14)设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)?证明过程或演算步骤. (15)
ex?e2?2cosx求极限lim
x?0x4(16)计算二重积分??exxydxdy，其中D是以曲线y?x,y?21x及y轴为边界的无界区域.
(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生
1
产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且这两种产品的边际成本分别为20?（万元/件）与6?y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）；
x2（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；
（Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
1?xx2 (18)证明：xln?cosx?1?(?1?x?1)
1?x2 (19)已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex （Ⅰ）求f(x)的表达式； （Ⅱ）求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x?1?0(20)设A???0??aa1000a100?0??,a??1??1????1????
?0????0?（Ⅰ）计算行列式A；
（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.
?1?0 (21)已知A????1??01??11?，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2，
0a??a?1?0（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求正交变换x?Qy将f化为标准形. （22）
设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为
Y X 0 1 2 （Ⅰ）求P?X?2Y?； （Ⅱ）求Cov(X?Y,Y).
0 1 0 2 1 4 0 1 121 3 0 1 4 0 1 121
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
