专题过关检测（十四） 数 列
1．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列． (1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d. 因为a1＝－10，
所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列， 所以(a3＋8)＝(a2＋10)(a4＋6)， 所以(－2＋2d)＝d(－4＋3d)， 解得d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12. (2)由(1)知，an＝2n－12.
则当n≥7时，an>0；当n≤6时，an≤0. 所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.
2．(2019·洛阳统考)已知等差数列{an}的公差d≠0，若a3＋a9＝22，且a5，a8，a13成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
?an＋1?
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
222
anan＋1
解：(1)设数列{an}的首项为a1，依题意，
??2a1＋10d＝22，?2???a1＋7d?＝?a1＋4d??a1＋12d?，
解得a1＝1，d＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
222
1??an＋1?4n4n11?1－(2)∵bn＝＝＝2＝1＋＝1＋??，
anan＋1?2n－1??2n＋1?4n－1?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
1?1?2n2＋2n1?1?1?11?1?11?
－∴Sn＝1＋×?1－?＋1＋×?－?＋…＋1＋??＝n＋2?1－2n＋1?＝2n＋1. 2?3?2?35?2?2n－12n＋1???3．(2019·长沙统考)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整数n的值． 解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5. 又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，
*
*
an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，
故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列， 于是an＝2n＋1，bn＝a2n－1＝2＋1. (2)由(1)知，bn＝2＋1.
2?1－2?n＋1
于是b1＋b2＋…＋bn＝(2＋2＋…＋2)＋n＝＋n＝2＋n－2.
1－2
1
2
nnnn令f(n)＝2
n＋1
＋n－2，易知f(n)是关于n的单调递增函数，
11
又f(9)＝2＋9－2＝1 031，f(10)＝2＋10－2＝2 056， 故使b1＋b2＋…＋bn>2 018成立的最小正整数n的值是10.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列??是首项为1，公差为2的等差数列．
?n??Sn?
10
(1)求数列{an}的通项公式；
a1a2an?1?n(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·??，求数列{bn}的前n项和Tn.
b1b2bn?2?
解：(1)因为数列??是首项为1，公差为2的等差数列，
?n??Sn?
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1. 所以Sn＝2n－n. 当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－n)－[2(n－1)－(n－1)]＝4n－3， 当n＝1时，a1＝1也符合上式．
所以数列{an}的通项公式an＝4n－3(n∈N)．
*
2
2
2
Snna11
(2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2；
b12a1a2an?1?n当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)??，
b1b2bn?2?
所以＋＋…＋
a1a2
b1b2
an－1?1?n－1
＝5－(4n＋1)??. bn－1?2?
an?1?n两式相减，得＝(4n－3)??.
bn?2?
因为an＝4n－3，
4n－3n所以bn＝＝2(当n＝1时，也符合此式)．
?1?n?4n－3????2?
bn＋12n＋1又＝n＝2，则数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． bn2
2?1－2?n＋1
所以Tn＝＝2－2.
1－2
5．(2019·天津高考)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3
＝4a2＋3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式． 1，n为奇数，??
(2)设数列{cn}满足cn＝?nb，n为偶数.??2
n
n求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N)．
*
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
??3q＝3＋2d，
依题意，得?2
?3q＝15＋4d，?
??d＝3，
解得?
?q＝3，?
n－1
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3＝3.
n所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝?n×3＋2
?
?
n?n－1?
2
1
×6??＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)
?
＝3n＋6(1×3＋2×3＋…＋n×3)． 记Tn＝1×3＋2×3＋…＋n×3，① 则3Tn＝1×3＋2×3＋…＋n×3
2
3
2
3
1
2
2nnn＋1
，②
nn＋1
②－①得，2Tn＝－3－3－3－…－3＋n×3
2
2
3?1－3??2n－1?3n＋1
＝－＋n×3＝
1－32
n＋1
nn＋1
＋3
.
?2n－1?3
所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n＋6Tn＝3n＋3×2
＋3?2n－1?3＝n＋2
2
＋6n＋9*
(n∈N)．
2
6．(2019·江苏高考节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
(1)已知等比数列{an}(n∈N)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M -数列”； 122*
(2)已知数列{bn}(n∈N)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
*
Snbnbn＋1
求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q， 所以a1≠0，q≠0.
??a2a4＝a5，由?
?a3－4a2＋4a1＝0，???a1＝1，解得?
?q＝2.?
??a1q＝a1q，
得?2
?a1q－4a1q＋4a1＝0，?
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新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测十四数列文
