自学考试线性代数试卷及答案
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10月高等教育自学考试全国统一命题
考试
04184线性代数（经管类）试卷 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，A表示矩阵A的转置矩
T阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位
*矩阵，A表示方阵A的行列式，r?A?表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式aa1121a12a221Aija13a231=2，若元素a的
ij1代数余子公式为
A31?A32?A33?（i,j=1,2,3)，则
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【 】
A.?1 B.0 C.1 D.2
2.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以?1得2到单位矩阵E， 则A=【 】 A.?2 3.设向量组?,?1 B.
?12
C.1 D.2 22,?3的秩为2，则?,?12,?3中
【 】
A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵
A?1?33???A??3?53??6?64???,则下列向量中是
的特征向量为
的属于特征值
?2【 】
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A.D.
?1?????1??0????1????1??2??? B.
??1????0??1??? C.
?1????0??2???
22f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x25.二次型的正惯性
指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
x6.设f(x)?2?3?11，则方程f(x)?0的根是
*0?7.设矩阵A???2?1??0??,则A=
?18.设A为3阶矩阵，A??1,则行列式(2A)= 21?9.设矩阵B???3?2??4??1?,P???0?0??2??,若矩阵A满足
PA?B,则A= 资料仅供参考
10.设向量?1?(?1,4)T?2?(1,2)T?3?(4,2)T,,,则?由
3?1,?2线性表出
的表示式为 11.设向量组?相关，
则数k?
x12.3元齐次线性方程组??x?121?(3,1,1)T,?2?(4,1,0)T,?3?(1,0,k)T线性
?x2?0?x3的基础解?0系中所含解向量的个数 为 13.设3阶矩阵A满足3E?2A?0，则A必有一个特征值为
14.设2阶实对称矩阵A的特征值分别为
?1和1，则A? 212212?x2?2tx1x215.设二次型f(x,x)?tx正定，
则实数t的取值范围是
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三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
310016.计算4阶行列式
17.已知矩阵
18.设矩阵
AX?E?A3?X1310D?01310013的值。
?a3?2?aA???a?1?a2a10a1??10?00??00??，求A。
?1?1?11???A??110??011???,且矩阵
X满足
,求X。
19.设向量
?1?(1,1,1,1)T,?2?(1,2,1,1)T,?3?(k?1,1,k,k?1)T,??(k2?1,1,1,1)T,
试确定当k取何值时?能由?,?12,?3线性表
出，并写出表示式。
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20.求线性方程组
?x1?x2?x3?x4?0??x2?2x3?2x4?1?x?2x?3x?3x?1234?1的通解
（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵
?100???B??020??002????1?11???A??13?1??x11???与对角矩阵
相似，求数x与可逆矩阵P，使。
得P
?1AP?B资料仅供参考
22.用正交变换将二次型
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x3?2x1x3化为标准形，写出
标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分） 23.设向量组?,?12,?3线性相关，且其中任
意两个向量都线性无关。证明：存在全．不为零的常数k,k,k使得k??k??k??0。 ．．．
123112233
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线性代数（经管类）试题答案及评分参
考
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（课程代码04184）
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 6. 5 7.
?0?1????20????
8. ?1 49.
?12??3?2???2?3
10. ????1?3?211. ?1 12. 1 13. ?3 214. E
15. 0＜t＜1
三、计算题（本大题共7小题，每小题
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9分，共63分） 16.解
31001310D?1310=
3100?
01310013 ......3分
1310??01310013?55000?55 ......9分 17.解
?a3?a2a11000??00?2?aa100100???1?a10?a1000010??a1??10000001??a2?????a3a2a.....2分
??10000001???0100001?a????001001?a0???00011?a00??? ..........7分
01300100001?00010??00100?11000???13 .
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从
01??00??1?a??00A?1??01?a0????1?a00???而
......9分 18.解.....2分 又由
?1?11??100??0?11???????A?E??110???010???100??011??001??010??????? 由
AX?E?A3?X,得
(A?E)X?A3?E .
可
逆 ......5分 由(A?E)X?A3?E,可得(A?E)X?(A?E)(A?12?A?E)
两边左乘(A?E),得到
?0?12??1?11??100??2?23?????????2X?A?A?E??201???110???010???321??121??011??001??133????????? ......9分 19
解
设
，
x1?1?x2?2?x3?3?? ......2分
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该线性方程组的增广矩阵为
?1???1A???1?1?1k?1k2?1??1??211??0???1k1??0?1k?11???01k?1k2?1??21?k?k?0?1?k2??2?00?k?
......6分 由于?能有?,?12,?3线性表出，则必有
?1,x2?x3?0r(A)?r(A)?3?
1此时k?0，方程组有唯一解x表
???1 为
示式
......9分 20.解 方程组的增广矩阵
?11110??10?1?1?1?????A??01221???01221??12331??00000??????
......2分
可知r(A)?r(A)?2＜＜4，方程组有无穷多
?解 ......4分
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x由同解方程组??x?12??1?x3?x4?1?2x3?2x4*
?(?1,1,0,0)T求出方程组的一个特解??1?(1,?2,1,0)T,?2?(1,?2,0,1)T,
导出组的一个基础解系为
...
...7分
从而方程组的通解为
?*?c1?1?c2?2?(?1,1,0,0)T?c1(1,?2,1,0)T?c2(1,?2,0,1)T(c1,c2
常
）
为任意
数
......9分
21.解 由条件可知矩阵A的特征值为
?1?1,?2??3?2 ......2分
0?x1?1?11?x?1?00E?A??1?2 由
x?1，得
......4分
1对于??1，由线性方程组(E?A)x?0求得一
T个特征向量为 ??(?1,1,1)
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对于?2??3?2，由线性方程组(2E?A)x?0求得
TT两个线性无关的特征向量为
??(1,0,1),??(0,1,1)
23令
P?1AP?B??110???P?(?1,?2,?3)??101??111???,则
..
二次型的矩阵
....9分 22.解
?101???A??020??101??? ......2分 由?E?A?故
A??10?10?10?(??2)2??0??20 值
为
??1的特征
?1??2?2,?3?0 ......4分 对于?(?A)x?01??2?2，求解齐次线性方程组
T，得到基础解系 ??(?1,0,1)
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将
?3?(?12其
,0,12)T单位化，得
......7分 令
?0?P?(?1,?2,?3)??1??0?10122?1?2?0??1?2?,则P为正交矩
阵， 经正交变换形2y212?2y2?x1??y1?????x?P?2??y2??x??y??3??3?，化二次型为标准
......9分
,?32四、证明题（本题7分） 23.证 由于向量组?,?112线性相关，故，使得
存在不全为零的常数k,k
k1?1?k2?2?k3?3?0,k3 ......2分 其中必有k化为k?221?0。否则，如果k
1?0，则上式
,?3?k3?3?0其中k2,k3不全为零，由此推出?2线性相
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关，与向量组中任意两个向量都线性无关
的
条
件
矛
盾 ......5分 类
似
k2?0,k3?0
地
，
可
........7分 证
明
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