《通信原理习题选》
第二章 确定信号分析
1．设s1(t),s2(t)是任意的复信号，S1(f),S2(f)分别是s1(t),s2(t)的傅氏变换。证明
∫∞
*(t)s)dt=∫∞
?∞
s12(t?∞
S*1(f)S2(f)df。
证：
∫∞
*
∞
?∞
s1(t)s∞(?
∞
2(t)dt=∫???∫?∞S1f)ej2πftdf?????∫?∞S2(u)ej2πut?∞?du???
dt
=∫∞∫∞
?∞?∞S?1(f)S2(u)?∞
?j2πft+j2πut??∫?∞edt???dudf
=∫
∞
?∞∫
∞
?∞S?1(f)S2(u)δ(f?u)dudf
=∫∞
?∞
S?1(f)S2(f)df
注：Paserval定理的一般形式是 ∫∞?∞s*1(t)s2(t)dt=∫∞?∞S*1(f)S2(f)df， 其中s1(t),s2(t)是任意的复信号，S1(f),S2(f)分别是s1(t),s2(t)的傅氏变换。它的一个特例是s1(t)=s2(t)=s(t)，此时 ∫∞2=∫∞2?∞s(t)dt?∞S(f)df 其中S(f)是s(t)的傅氏变换。 2．已知信号
?g(t)=??cos
πt
T?
TsTs2≤t 0else (1)求其傅氏变换G(f)； (2) ∫ ∞ 2 ?∞ G(f)df=? 。 解：(1)令 ? (?1?Ts≤t g′t)=?22 ??0 else则 g′(t)?jt g(t)=g′(t)cosπt πtπ=?eT+e?js T ?s T?s 2?? ?。 ? g′(t)的傅氏变换为 G′(f)=Tssinc(fTs) 1/12 1 《通信原理习题选》 因此g(t)的傅氏变换为 ?1?1???? +?πfTπfTsinsin?s??s??1??1?1??Ts?2?2?????G(f)=?G′?f?+?+G′?f+??=? 112??2Ts?22T?????πfT+s???π?fTs?????s ?2?2?????? ?? cosπfTs?Ts?cosπfTsTcosπfTs1 ?=?s=??× 121?1??2??2π? (fTs)?π?fTs+?π?fTs?? ??42?2????? 2TscosπfTs= π(1?4f2Ts2)(2)由Paserval定理 ∫ 3．已知周期信号s(t)= ∞n=?∞ ∞ ?∞ G(f)df=∫g2(t)dt= ?∞ 2∞ Ts 2 ∑g(t?nT)，其中 ?2Tg(t)=? ?0 ?T4≤t else 求s(t)的功率谱密度。 解：s(t)可看成是冲激序列x(t)=输出。将x(t)展成傅氏级数，得 mt1∞j2πT x(t)=∑δ(t?nT)=∑e Tn=?∞m=?∞ ∞ n=?∞ ∑δ(t?nT)通过一个冲激响应为g(t)的线性系统的 ∞ 所以x(t)的功率谱密度为 1∞?m? Px(f)=2∑δ?f?? Tm=?∞?T??fT? g(t)的傅氏变换是G(f)=sinc??，因此 2?? 1∞m??m?? Ps(f)=2∑sinc2??δ?f?? Tm=?∞T??2?? ∞ 1142k?1??=2δ(f)+2∑δ?f??TTk=?∞(2k?1)2π2?T? 4．对任意实信号g1(t),g2(t)， (?∞ v(t)=g1(t)?g2(t)。求u(t)与v(t)正交的条件。 解： 2/12 2 《通信原理习题选》 ∞ ∞ ∫u(t)v(t)dt=∫ =∫ ?∞ ?∞∞?∞ ??g1(t)+g2(t)????g1(t)?g2(t)??dt 22??gtg()(t)?12??dt=E1?E2 因此，u(t)与v(t)正交的条件就是g1(t)和g2(t)等能量。 5． ∫ ∞ ?∞ sinc(t?y)sinc(y)dy=? 解：令s(t)=sinc(t)，则其傅氏变换是 ? ?1 S(f)=? ??0 ∞?∞ f≤ 1 2 esle u(t)=∫sinc(t?y)sinc(y)dy是sinc(t)和sinc(t)的卷积。时域卷积对应频域乘积，所 以u(t)的傅氏变换是 U(f)=S(f)S(f)=S(f) 因此u(t)=sinc(t) 6．证明 k=?∞ ∑sinc(k+ε)=1，其中0≤ε<1。 k +ε=kTs+ε时刻进行理想采样，得fs ∞ 证：对直流信号m(t)以fs=1Hz的采样速率在t=到的采样信号是 ∞ s(t)= k=?∞ ∑m(kT s +ε)δ(t?kTs?ε)= k=?∞ ∑δ(t?kT ∞ ∞ s ?ε) 再将s(t)通过一个带宽为 fs =0.5Hz的理想低通滤波器，则输出还是直流m(t)=1。 2 k=?∞ 另外，此理想低通的冲激响应是sinc(t)，因此滤波器输出是并考虑到sinc(x)是偶函数，得 ∑sinc(t?k?ε)，令t=0， k=?∞ ∑sinc(k+ε)=1。 ∞ ?(t)。求下列信号的Hilbert7．设基带信号m(t)的频谱范围是[fL,fH]，其Hilbert变换是m 变换（fc>>fH）。 (1)x1(t)=m(t)cos2πfct； ?(t)； (2)x2(t)=m(t)+jm ?(t)sin2πfct； (3)x3(t)=m(t)cos2πfct?m t?? ?j2πftKm(τ)dτ??+c?∫??∞??(4)x4(t)=Re?Ae??。 ???? 3/12 3
现代通信原理 第二章习题答案
