§8.4 直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直 (1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条判定定理 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 ?a∩b＝O???l⊥α l⊥a??l⊥ba⊥α????a∥b b⊥α??a，b?α性质定理 2．直线和平面所成的角 (1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． π
0，?. (2)范围：??2?3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直
1
于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 两个平面垂直，则一个平面性质定理 内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面． 2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．
图形语言 符号语言 判定定理 ?l⊥α???α⊥β l?β?? α⊥β??l?β??l⊥α α∩β＝a??l⊥a
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ ) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × ) 题组二 教材改编
2．下列命题中错误的是( )
2
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D
解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的． 3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB， ∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC， ∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心． 题组三 易错自纠
4．(2024·赣州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；
3
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m?α，必要性不成立， 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )
A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直 答案 A
解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D， 所以AC⊥平面BDD1B1，
因为OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2，
则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2， ON＝1＋4＝5，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN∥AB
B．平面VAC⊥平面VBC C．MN与BC所成的角为45° D．OC⊥平面VAC 答案 B
解析 由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA
4
＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.
证明 因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
因为BB1⊥底面ABC，AD?底面ABC， 所以AD⊥B1B.
因为BC∩B1B＝B，BC，B1B?平面B1BCC1， 所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F?平面B1BCC1， 所以AD⊥B1F.
方法一 在矩形B1BCC1中， 因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2， 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1， 所以∠CFD＝∠C1B1F，
所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD?平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF.
方法二 在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，
2所以B1D＝BD2＋BB1＝10. 在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，
2所以B1F＝B1C1＋C1F2＝5. 在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1， 所以DF＝CD2＋CF2＝5.
5
显然DF2＋B1F2＝B1D2， 所以∠B1FD＝90°. 所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD＝D，AD，FD?平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质． 跟踪训练1 (2024·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC， BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2024·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
6
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
2
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
3(1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32. 2
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝22.
3如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，
1
则QE∥DC且QE＝DC.
3
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q－ABP的体积为 1
VQ－ABP＝×S△ABP×QE
311
＝××3×22sin 45°×1＝1. 32思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
跟踪训练2 (2024·武昌调研)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，
7
PA⊥PC，PB＝2.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若PA＝PC，求三棱锥P－ABC的体积． 证明 (1)如图，取AC的中点O，连接BO，PO，
因为△ABC是边长为2的正三角形， 所以BO⊥AC，BO＝3.
1
因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1.
2因为PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2， 所以PO⊥OB.
因为AC∩OP＝O，AC，OP?平面PAC， 所以BO⊥平面PAC. 又OB?平面ABC， 所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解 因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2， 所以PA＝PC＝2. 由(1)知BO⊥平面PAC，
1113
所以VP－ABC＝VB－APC＝S△PAC·BO＝××2×2×3＝. 3323题型三 垂直关系的综合应用 命题点1 直线与平面所成的角
例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点． (1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 2 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
8
(1)证明 ∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点． ∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA， 又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC， ∴△BPC是直角三角形．
(2)解 如图，过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH， 又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC， ∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角， ∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角， PA
∵tan∠PCA＝＝2，
AC又PA＝2，∴AC＝2， ∴在Rt△PAC中，AH＝
PA·AC23
＝，
3PA2＋AC2233AH3
∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
AB23即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为命题点2 与垂直有关的探索性问题
例4 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
3
. 3
9
(1)求证：C1E∥平面ADF；
(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF. (1)证明 连接CE交AD于O，连接OF.
因为CE，AD为△ABC的中线， 则O为△ABC的重心， 故
CFCO2
＝＝，故OF∥C1E， CC1CE3
因为OF?平面ADF，C1E?平面ADF， 所以C1E∥平面ADF.
(2)解 当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF. 证明如下：因为AB＝AC，AD?平面ABC， 故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中， BB1⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1， 故平面B1BCC1⊥平面ABC.
又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD?平面ABC， 所以AD⊥平面B1BCC1， 又CM?平面B1BCC1， 故AD⊥CM.
又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2， 故Rt△CBM≌Rt△FCD.
易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD?平面ADF， 故CM⊥平面ADF. 又CM?平面CAM， 故平面CAM⊥平面ADF.
思维升华 对命题条件的探索的三种途径 途径一：先猜后证．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． 途径三：将几何问题转化为代数问题．
10
跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；
(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由．
(1)证明 连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD， 连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN， 所以四边形FMNG为平行四边形，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD. 所以FG⊥AE，
又因为AC∩AE＝A，AC，AE?平面ACE， 所以FG⊥平面ACE.
又FG?平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
(2)解 存在．设平面ACE交FG于Q， 则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH， 由已知易知，平面EFG∥平面ABCD， 又平面ACE∩平面EFG＝EQ， 平面ACE∩平面ABCD＝AC， 所以CH∥EQ， 又CH＝EQ＝
2
， 2
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
11
又CQ?平面CFG，EH?平面CFG， 所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG， 且CH＝
2. 2
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案 C
解析 因为α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.
2．(2024·潍坊模拟)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下结论： ①m?α，n?β，m⊥n?α⊥β； ②m∥β，n∥β，m?α，n?α?α∥β； ③m⊥β，n⊥α，m⊥n?α⊥β； ④m?α，m∥n?n∥α. 其中正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B
解析 由题意，对于①中，若m?α，n?β，m⊥n，则两平面可能是平行的，所以不正确； 对于②中，若m∥β，n∥β，m?α，n?α，只有当m与n相交时，才能得到α∥β，所以不正确； 对于③中，若m⊥β，n⊥α，m⊥n，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以是正确的；
对于④中，若m?α，m∥n，n?α?n∥α，所以是不正确的， 综上可知，正确的命题只有一个，故选B.
3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
12
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 答案 C
解析 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
4．(2024·昆明适应性检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则( ) A．MN∥C1D1 C．MN⊥平面ACD1 答案 D
解析 对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N∈平面CDD1C1，点M?平面CDD1C1，所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线，
又因为直线C1D1在平面CDD1C1内，故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错； 对于选项B，正方体中易知NB≠NC1，因为点M是BC1的中点，所以直线MN 与直线BC1不垂直，故选项B不对；
对于选项C，假设MN⊥平面ACD1，可得MN⊥CD1，因为N是CD1的中点， 所以MC＝MD1，这与MC≠MD1矛盾，故假设不成立，所以选项C不对； 对于选项D，分别取B1C1，C1D1的中点P，Q，连接PM，QN，PQ. 因为点M是BC1的中点， 1
所以PM∥CC1且PM＝CC1.
21
同理QN∥CC1且QN＝CC1.
2所以PM∥QN且PM＝QN， 所以四边形PQNM为平行四边形． 所以PQ∥MN.
在正方体中，CC1⊥PQ，PQ⊥AC，
因为AC∩CC1＝C，AC?平面ACC1，CC1?平面ACC1， 所以PQ⊥平面ACC1.
因为PQ∥MN，所以MN⊥平面ACC1. 故选项D正确．
9
5．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形，若
4P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
B．MN⊥BC1 D．MN⊥平面ACC1
13
5πA. 12πC. 4答案 B
πB. 3πD. 6
解析 如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，
则∠PAO是PA与平面ABC所成的角． 因为底面边长为3， 所以AD＝3×
33223＝，AO＝AD＝×＝1. 22332
三棱柱的体积为 39
×(3)2AA1＝， 44解得AA1＝3， 即OP＝AA1＝3， OP
所以tan∠PAO＝＝3，
OA
π0，?， 因为直线与平面所成角的范围是??2?π
所以∠PAO＝. 3
6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
答案 4
解析 ∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．
14
答案 AB
解析 ∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B， ∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_______时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 ∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
1答案 3
解析 连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角． 因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22， 又AA1＝1，所以AC1＝3， AA11
所以sin∠AC1A1＝＝.
AC13
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点
15
P到直线CC1的距离的最小值为________．
答案
25 5
解析 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝2×125
＝.
522＋1211.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD.
又AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC，
又因为AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF. 又AB⊥AD，
由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB?平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD.
16
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝3，AD＝CD＝1，∠ADC1＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.
4
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值． (1)证明 因为AB＝BC，AD＝CD， 所以BD垂直平分线段AC. 又∠ADC＝120°，
113所以MD＝AD＝，AM＝.
222所以AC＝3. 又AB＝BC＝3，
所以△ABC是等边三角形， 3BM
所以BM＝，所以＝3，
2MD1
又因为PN＝PB，
4BMBN所以＝＝3，
MDNP所以MN∥PD.
又MN?平面PDC，PD?平面PDC， 所以MN∥平面PDC.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥PA，
又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 由(1)知MN∥PD，
所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角， 故∠DPM即为所求的角． 在Rt△PAD中，PD＝2， 1DM21
所以sin∠DPM＝＝＝，
DP24
17
1
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为. 4
13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF 答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变， ∴AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确； ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH?平面HAG， ∴EF⊥平面HAG， 又EF?平面AEF，
∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确； 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.
14．(2024·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) 33A.
432C. 4答案 A
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．
23B.
3D.3 2
B．AH⊥平面EFH D．HG⊥平面AEF
18
取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN122
所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°
222＝33
. 4
故选A.
15.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD. 答案 ①②
解析 由已知，在未折叠的原梯形中， 易知四边形ABCE为矩形， 所以AB＝EC，所以AB＝DE， 又AB∥DE，
所以四边形ABED为平行四边形， 所以BE＝AD，折叠后如图所示．
①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP. 因为M，N分别是AD，BE的中点，
19
所以点P为AE的中点，故NP∥EC. 又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E， 所以平面MNP∥平面DEC， 故MN∥平面DEC，①正确； ②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC， 所以AE⊥MP，AE⊥NP，
又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP， 又MN?平面MNP，所以MN⊥AE，②正确； ③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA， 从而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA， 与BE和AD是异面直线矛盾，③错误； ④当EC⊥ED时，EC⊥AD.
因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E， 所以EC⊥平面AED，AD?平面AED， 所以EC⊥AD，④不正确．
16.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．
(1)求证：FM∥平面BDE；
(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离． (1)证明 取BD的中点O，连接OM，OE，
因为O，M分别为BD，BC的中点， 1所以OM∥CD，且OM＝CD.
2
因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB， 又EF∥AB，所以CD∥EF， 又AB＝CD＝2EF， 1
所以EF＝CD，
2
所以OM∥EF，且OM＝EF，
20
所以四边形OMFE为平行四边形， 所以MF∥OE.
又OE?平面BDE，MF?平面BDE， 所以MF∥平面BDE.
(2)解 由(1)得FM∥平面BDE，
所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离． 取AD的中点H，连接EH，BH，
因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°， 所以EH⊥AD，BH⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH?平面ADE， 所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH， 易得EH＝BH＝3，所以BE＝6， 1
所以S△BDE＝×6×
2
22－?
156?2＝. 2?2?
设点F到平面BDE的距离为h，
1133
连接DM，则S△BDM＝S△BCD＝××4＝，
2242连接EM，由V三棱锥E－BDM＝V三棱锥M－BDE， 13115
得×3×＝×h×， 3232解得h＝
15
， 5
15. 5
即点F到平面BDE的距离为
21
2024届高考步步高数学（理）一轮复习（京津鲁琼用解析版）第八章 8.4
