1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．
知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质
(a＋b)的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
n
思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2. 思考3 二项式系数的最大值有何规律？
答案 当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点
①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cn＋1＝Cn＋Cn. (2)二项式系数的性质
性质 mn－mkk－1
kn内容 Cn＝Cn，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项Tn的2?1对称性 增减性与最大值 二项式系数最大 如果n为奇数，那么其展开式中间两项Tn?1与Tn?1的二项22?1式系数相等且同时取得最大值 各二项式 二项展开式中各二项式系数的和等于2，即Cn＋Cn＋Cn＋…n012 1
系数的和 ＋Cn＝2 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1nn，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2135246n－1
1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( × ) 2．二项式展开式的二项式系数和为Cn＋Cn＋…＋Cn.( × ) 3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )
1
2
n
类型一 与杨辉三角有关的问题
例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )
A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行
(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 (1)B (2)C
解析 (1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．
(2)由题干图知，数列中的首项是C2，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，第15项是C9，第16项是C9，所以S(16)＝C2＋C2＋C3＋C3＋…＋C9＋C9＝(C2＋C3＋…＋C9)＋(C2＋C3＋…＋C9)
2
22
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
＝(C2＋C2＋C3＋…＋C9－C2)＋(C3＋C3＋…＋C9) ＝C10＋C10－1＝164.
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
2
3
21112322
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 34
解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以Cn∶Cn＝2∶3，即行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 类型二 二项式系数和问题
例2 已知(2x－1)＝a0x＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5. 求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5.
考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题
解 (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得－3＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)的通项Tk＋1＝C5(－1)·2
5
55
5
4
3
2
13
14
142
＝，解得n＝34，所以在第34n－133
kk5－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，
3
(部编本人教版)最新版高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3【必做
