北京大学数学学院期末试题
2011－2012学年第一学期
考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日 姓 名 学 号
?1?1?一. （10分）已知n阶方阵A =????1求矩阵X , 使得 A X = B . 解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换
?1?1??1?????100?010?011?????01?1100?010?001?????00?11111?1??10?01122?2???123?3???01???????????123?n????01111?011?001?????001?0?00?01????0?11111?011?012?????012?1?1??2????n?1??0?1????1?10??1?????1, B =0?????1???111?1?22?2??23?3?.
??????23?n???1?0???0?????01??10?011???1???00???????n?2????000?00?01????0?01111?1?011?1??001?1????????00?01???1?0? 故 X =????0
1?1?1??????1?.
??01?
?110??112? 3
二（.15分）设 A : X ? A X 是R上的线性变换, 其中A = ??.
??002??(1) 求线性变换 A像空间的维数和一组基; (2) 求矩阵A的特征值与特征向量; (3) 判断矩阵A能否对角化并说明理由.
解: (1) 在标准基下, A像空间就是矩阵A的列空间, 它的一组基
?1??0??1?,?2?为 ????, 维数是2 .
??0????2??(2)
λ?1|λI?A|??10?10λ?1?1λ?1?2?(λ?2)?1λ?10λ?2?(λ?2)(λ2?2λ)?λ(λ?2)2A的特征值为? = 2 (代数二重), 0 .
对? = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :
??110??1?10??1?12???001????? ??000????000??通解为x1 = x2 , x3 = 0 , x2 为自由变量. 写成向量形式
?x1??x2??1??x???x??x?1?2?? ?2??2????x3????0???0??α1 = [ 1 1 0 ] T 构成? = 2特征子空间的一组基.
对? = 0解齐次方程组 A X = 0 :
?110??110??112???001????? ??002????000??通解为x1 = - x2 , x3 = 0 , x2 为自由变量. 写成向量形式
?x1???x2???1??x???x??x?1?2??2??2??
???x3????0???0??α1 = [ -1 1 0 ] T 构成? = 0特征子空间的一组基.
(3) 由于特征值 ? = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,
A不能否对角化. 三．（35分）填空题 (多选) .
1．已知3阶矩阵A的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为
[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A3 – 3 A2 = .
00??101??101???1?012??0?1/20??012????????00??100????0???100??112t?1?t24??1?101?????01/21??
??101???2. 设A = ? ?? . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,
使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 . 3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型
x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.
4. 设?是n维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 ? ?T | = - 4 . 注: 可计算行列式或利用 | Im –A B | = | In –B A | . 5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},
相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.
?101??010??100??212??,B??131?,C??010?,D??010?A??010????????
?????101???010???301???000??6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选). a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;
b) 实方阵都能写成P Q的形式, 其中P是实对称矩阵, Q是正交矩阵 c) 每个矩阵都能写成P J的形式, P是可逆矩阵, J是行简化阶梯矩阵 d) 实方阵都能写成Q R的形式, Q是正交矩阵, R是上三角矩阵 四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例. 1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性 无关, 则整个向量组也线性无关.
?1?解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 ???0??2?,??, 其中由任意一个 ?0?向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.
2) 设A是m ? n矩阵. 若存在矩阵B与C, 使得 BA = In , AC = Im , 则必有m = n , 且 B = C .
解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有
C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n. 五.（20分）设 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 是三元二次型. (1) 将 f 写成 X TA X的形式, 并求A的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵P及对角矩阵D, 使得A = P D P T ;
(3) 求二次齐次函数 f ( x1 , x2 , x3 ) 在单位球面 x12 + x22 + x32 = 1
上的最大、最小值, 并确定在何处取到.
Tf?XAX??x1解: (1)
x2?011??x1???x?x3??101???2?
??110????x3??λ?1?1λ?1?1λ?2?1|λI?A|??1λ?1??1λ?1??1λ?1?1
?1?1λ0?1?λλ?100λ?1
?(λ?1)(λ2?λ?2)?(λ?1)2(λ?2)
A的特征值为? = - 1 (代数二重), 2 .
对? = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :
?111??111??111???000????? ??111????000??通解为x1 = - x2 - x3 , x2 、x3为自由变量. 写成向量形式
?x1???x2?x3???1???1??x?????x?1??x?0?x22??2????3?? ???x3??x3??????0???1??α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成? = -1特征子空间的一组基. 对? = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :
1??1?21??10?1???21?1?21????211???01?1??????? ?1?2?00??1???0???000??通解为 x1 = x3 , x2 = x3 , x3为自由变量. 向量形式:
北京大学高等代数 I_2011 期末答案
