?A?1?A?????B????1??， ??B?1??BA?????1???A?1B?1?（P45； P46 ex2） ? “主逆不变，副逆交换”
?4）分块对角阵相乘：A???A11???B11,B???A22???? B22?? n?A22??A11B11 ?AB???n?A11?n?,(P44例3)； 特别地：A??A22B22??（7） 矩阵方程的解法（P36-37；P37例7；P40 ex8,9） （8）行阶梯形矩阵
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线 后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 称为行最简形矩阵 （9）矩阵的初等变换
1）矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 2）矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：P28定理3
对A施行一次初等行○变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左○乘A； 对A施行一次初等列○变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右○乘A.
（10）矩阵的秩
如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r
a11第二章 行列式 Dn?a12a22an2a1na2nann
a21an1行列式的计算（具体方法技巧参看专题文档）
1、行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 2、上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
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?3、关于副对角线：
a1na2n?1?OOa2n?1an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2nan1 （P55例3）
an1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）
4、若A与B都是方阵（不必同阶）,则
AOA?AO=??ABOBOB?BOABO=?ABO?(?1)mnAB（拉普拉斯展开式 P73）
1x15、范德蒙德行列式：x121x22x21xn2?xn1?j?i?n??x?x? （P64例8）
ijx1n?16、行列式性质
n?1x2n?1xn性质1（P56）； 性质2（P58）； 性质3（P58）； 性质4（P59）； 性质5（P61）； 7、行列式运算性质
设A,B是n阶方阵,k是数，则
n1）AB?AB （P67定理2，P68推论1）； A?A； kA?kA （P60）
kk2）A?B?A?B 第三章 几何空间 参看教材P93-122 第四章 n维向量空间
1、n维向量空间R的概念 (P125；P127定理1)
2、R的基、维数与坐标；过渡矩阵 （P146； 147例9） 3、向量组、向量组的秩与极大无关组
向量组?1,?2,n
n
,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,,?n)
① 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示
?AX?B有解
?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s) （P145三个等价命题） ?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n). (即：大秩向量组表示小秩向量组) （P144）
7
② 若向量组?1,?2,???,?r可由向量组?1,?2,???,?s线性表示，且?1,?2,???,?r线性无关,则r?s.
（P143定理3）
?若向量组?1,?2,???,?r可由向量组?1,?2,???,?s线性表示,如果r?s，则?1,?2,???,?r线性相关.
（定理3的逆否命题P144）
③ 向量组?1,?2,???,?n与?1,?2,???,?s等价
?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,???,?s)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s) （P145）
④ 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价. ⑤ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑥ 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关； 若r(A)?n，A的列向量线性无关. 4、线性方程组解的结构
?a11?a21?矩阵式 Ax?? A????am1a12a22am2a1n??x1??b1??????a2n?xb2?2???,x?,??
??????????amn?x?n??bm???1j??x1??????x2j?,j?1,2,,?n)?2??? ?j?????????????x?n??mj?向量式 x1?1?x2?2??xn?n?? (?1,?2,,n
（1）线性方程组解的判断
有解判定定理：设A为m?n矩阵,若r(A)?r(A?)?Ax??一定有解 （P131定理1，P159例10）
?可由?1,?2,,?n线性表示?Ax??有解
当A为方阵时??Ax??有无穷多解??????A?0 ???n?表示法不唯一???1,?2,,?n线性相关?Ax?0有非零解 ??r(A)?r(A?)? 当A为方阵时?Ax??有唯一组解??????A?0?克莱姆法则(P79)???n?表示法唯一????1,?2,,?n线性无关?Ax??只有零解? 8
?不可由?1,?2,??r(A)?r(A?) ?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A?)
??r(A)?1?r(A?) ?Ax??有无穷多解注：
?其导出组即Ax?0有非零解??Ax??有唯一解?其导出组即Ax?0只有零解 ??
（2）线性方程组解的性质
①若?1,?2是Ax?? 的解， 则?1??2也是它的解；（P150性质1） ②若?是Ax?? 的解， 则对任意k,k?也是它的解；（P150性质2） ③若?1,?2,,?k是Ax?? 的解， 则对任意k个常数,
（P150性质3） +?k?k也是它的解。
?1,?2,,?k, ??11??2?2?④若?1,?2是Ax?? 的两个解， 则?1??2是其导出组Ax??的解 （P155性质4）
⑤若?是Ax?? 的解， ?是其导出组Ax?? 的解，则??? 是Ax?? 的解 （P155性质5） ⑥若?1,?2,,?k是Ax?? 的解， 则
??k?k是Ax?? 的解??1??2???k?k是Ax?0 的解??1??2???k?1 （P170 ex6） ??k?0
??11??2?2+ ??11??2?2?（3）线性方程组的基础解系 （1）判断?1,?2,,?s是齐次线性方程组Ax??的基础解系的条件：
,?s线性无关； ,?s都是Ax??的解；
① ?1,?2, ② ?1,?2,③ s?n?r(A)?每个解向量中自由未知量的个数.（P150定理）
（2）若?是Ax??的一个解，?1,?,?,?s是Ax??的一个基础解系，则?1,?,,?s,??线性无关
（P167 ex9）
（3）关于公共解的三种处理办法：
① 已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解
9
?A?将其联立，则联立方程组??x?0的所有非零解，即为所求。
?B?【例1】设四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）： Ⅰ:?（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。
解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1），α2=（0，0，1，0）；
同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1），α4=(-1,0,1,1)
T
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T
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?x1?x2?x3?0?x1?x2?0，求： ;(Ⅱ)??x2?x4?0?x2?x3?x4?0?x1?x2?0?x?x?0?24(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：?
x?x?x?023?1??x2?x3?x4?0?1100??10???010?1???01将其系数矩阵进行初等行变换??1?110??00????01?11??00得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）
T
01??0?1? ?1?2?00?于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为 X=k（-1，1，2，1）, k取全体实数。 ② 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解
令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。
【例2】已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是
α1=（1，2，5，7）,α2=(3,-1,1,7)，α3=（2，3，4，20）， Β1=（1，4，7，1）， β2=（1，-3，-4，2） 。 求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。
解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，
T
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?k1?3k2?2k3??1??2?0?2k?k?3k?4??3??0?12312令其相等得到 k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2 即?
5k?k?4k?7??4??02312?1??7k1?7k2?20k3??1?2?2?0 10
超级实用的线性代数总复习总结(整理1)
