对三角形内接矩形问题的探究
题目张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上的高长22. 5 cm.现沿底边依次从下 往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条屮有一张是正方形，则这 张正方形纸
(A)第4张
条是()
(D)第7张
分析根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结
解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3, 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为兀，
3 x
则3—二——,解得*4.5,
15 22.5
所以另一段长为22. 5-4. 5=18. 因为184-3=6,所以是第6张.
点评 本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用. 以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展.
引申 如图 2,在 Rt\\ABC 中，ZC = 90°,AC = 4,BC = 3.四边形 QEFG 为 的内接正方形，求正方形的边长.
B
解析 作CN丄ABt再根据GF//AB,可知\\CGF - \\CAB,由平行得到两对同位 角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于无的方程，即可求出正方 形的边长.在图2中
作CN丄AB,交CF于点M，交AB于点N?
5 CM GF
??? GF // AB.:. \\CGF s \\CAB , /.——=——
CN AB 设正方形边长为兀，
x 60 37
——
5
12
----- x J ___
12
变式1如图4 , MBC内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于
MBC,求正方形的边长.
解析在图5中作CN丄4B,交GF于点M ,交AB于点N. CM GF ??? GF // AB. ??? ACGF s \\CAB, /?—=—.
CN AB 设每个正方形边长为尢，
12_ 5 * 2兀 12 5
5
60 49
--- 77Z --- — ------- , ? ? A — -------- .
变式2如图6 , MBC内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于
AABC,求正方形的边长.
解析 作CN丄AB,交GF于点M,交AB于点N,易知，ACGF s MAB ；根据 对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为:x = —
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变式3如图7,按前面的规律，当有门个相等的正方形时，探求正方形的边长.
图6
解析设每个正方形的边长为X,同理
12
5 得: 12 —X
60 12〃 + 25
变式4如图&直角MBC屮，从左向右
依次作正方形NDMC、MKEH、HPFG ,若NDMC、MKEH的边长分别为加、
/?,请你用含 m 代数式表示HPFG的边长.
图7
图8
解如图9所示，
根据条件可以得到ADKE s \\EPF, ??? DK:PE=KE:PF. 而 DK = m-ny FG = c, PE = n-c, PF = c,
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