综合仿真练(八)
1．(2024·通州中学)若复数z满足________．
解析：由
zi
＝1，其中i为虚数单位，则复数z的模为z－i
zi
z－i
＝1得zi＝z－i，即z＝
i|i|12，所以|z|＝＝＝. 1－i|1－i|22
答案：
2
2
2．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∩N＝________.
解析：因为M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，所以N＝{0,3,9}，所以M∩N＝{0,3}． 答案：{0,3}
3．在区间(0,5)内任取一个实数m，则满足3 5－051答案： 5 4．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是2，则数据3x1,3x2，…，3x100 的标准差为________． 解析：由x1，x2，…，x100的方差是2，则3x1,3x2，…，3x100的方差是18，所以所求标准差为32. 答案：32 5．在如图所示的算法中，输出的i的值是________． 解析：当i＝1时，S＝2；当i＝3时，S＝6；当i＝5时，S＝30；当i＝7时，S＝210>200.所以输出的i＝7. 答案：7 x2y2 6．双曲线2－2＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离 ab心率e＝________. 解析：由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b”，则b＝ a＋c2 ，即a＋? 2 ?a＋c?2＝ ??2? c2.整理得3c2－2ac－5a2＝0，所以3e2－2e－5＝0，解得e＝. 5答案： 3 7．设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的边长为1，其表面积为14，则AA1＝________. 解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA1＝3. 答案：3 8．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ln x在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________． 11 解析：因为y′＝，所以曲线y＝ln x在x＝e处的切线的斜率k＝y′|x＝e＝.又该切 xe1 线与直线ax－y＋3＝0垂直，所以a·＝－1，所以a＝－e. e 答案：－e 53 y≤x＋2，??y≥x， 9．若不等式组?0≤y≤4， ??x≥0 的值为________． 表示的平面区域的面积为S，则S解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S＝122 (4－2)＝6. 2 答案：6 10．已知函数f(x)＝sin ωx－3cos ωx(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________． π?ππ?解析：易得f(x)＝2sin?ωx－?，设t＝ωx－，因为0 3?33?ππ .因为函数f(x)在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－≤2π， 33 47 解得<ω≤. 33 ?47?答案：?，? ?33? 11．若两个非零向量a，b的夹角为60°，且(a＋2b)⊥(a－2b)，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是________． 解析：由(a＋2b)⊥(a－2b)，得(a＋2b)·(a－2b)＝0，即|a|－4|b|＝0，则|a|＝2|b|， 2 2 cos〈a＋b，a－b〉＝＝ a－b 222 2 2a＋b·a－b |a＋b||a－b| 2a＋2a·b＋b·a－2a·b＋b21. 7 21 7 ＝3b 22 21b ＝ 答案： 12．(2024·扬州中学模拟)已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S6＝－9，S8＝4，若满足不等式n·Sn≤λ的正整数n有且仅有3个，则实数λ的取值范围为________． ??36A＋6B＝－9，2 解析：不妨设Sn＝An＋Bn，由S6＝－9，S8＝4，得? ??64A＋8B＝4， * A＝1，?? 则?15 B＝－，?2? 15215233 所以nSn＝n－n，令f(x)＝x－x， 22 则f′(x)＝3x－15x＝3x(x－5)，易得数列{nSn}在1≤n≤5，n∈N时单调递减； 81125* 在n>5，n∈N时单调递增．令nSn＝bn，有b3＝－，b4＝－56，b5＝－，b6＝－54， 22 2 b7＝－.若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为 49 2 ?－54，－81?. ??2?? 81??答案：?－54，－? 2?? 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则2cos A3cos B6cos Ccos Acos Bcos C＝________. 解析：由题意及正弦定理得 tan Atan Btan C＝＝，可设tan A＝2k，tan B＝3k，tan C236 11 ，从6 abc＝6k，k＞0，而在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，于是k＝而cos Acos Bcos C＝ 1 答案： 10 2x＋7x＋6x14．已知函数f(x)＝2，x∈[0,4]，则f(x)最大值是________． x＋4x＋3解析：法一：当x＝0时，原式值为0； 3 2 320 × 215 ×1 1＝. 1210 2x＋7x＋6x当x≠0时，由f(x)＝＝ x2＋4x＋3 32 6 2x＋7＋ xx＋4＋ x2 3 ，令t＝ 6 2x＋7＋，由x∈(0,4]， x得t∈[2＋3，＋∞)，f(x)＝g(t)＝ 2t2 ＝. t＋11 t＋ t11 而t＋≥4，当且仅当t＝2＋3时，取得等号，此时x＝3，所以f(x)≤.即f(x) t21 的最大值为. 2 法二：f(x)＝2xx2＋4x＋3－x2 x2＋4x＋3 ＝ x2x??2， －?2?x＋4x＋3?x＋4x＋3? 2 于是令t＝ x2，所求的代数式为y＝2t－t. x＋4x＋3 2 当x＝0时，t＝0；当x≠0时，有t＝ 12－3?2－3? ≤＝，所以t∈?0，?，323＋422??x＋4＋1 x2－312 当t＝时， 2t－t有最大值，此时x＝3. 22 1答案： 2
(江苏专用)2024高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(八)
