2024年高三数学下期中试卷(含答案)
一、选择题
1．已知点M?a,b?与点N?0,?1?在直线3x?4y?5?0的两侧，给出以下结论：
①3a?4b?5?0；②当a?0时，a?b有最小值，无最大值；③a2?b2?1；④当
9??3??b?1??,?的取值范围是?a?0且a?1时，???,???，
4??4a?1??正确的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
2．在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若A?则a的值为（ ） A．2
B．3
C．
?3,b?1,?ABC的面积为3，23 2D．1
y?43．已知点P?x,y?是平面区域{x?y?0内的动点, 点A?1,?1?,O为坐标原点, 设
x?m?y?4?uuuruuurOP??OA???R?的最小值为M,若M?2恒成立, 则实数m的取值范围是（ ）
A．??,?
35C．??,??? 4．已知函数f(x)?{A．??1,1?
?11???B．???,????,???
35??1???1????1?3??D．???1?,??? ?2?3?log2x,x?0，则不等式f(x)?5的解集为 ( )
x2?x?1,x?0B．?2,4
??C．???,?2??0,4? D．???,?2?0,4 ?????5．数列?an?中，对于任意m,n?N，恒有am?n?am?an，若a1?1，则a7等于( ) 87 8A．
1 72B．
1 74C．
7 4D．
6．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为( ) A． 3－1 C．23＋2
B． 3＋1 D．23－2
7．已知首项为正数的等差数列?an?的前n项和为Sn，若a1008和a1009是方程
x2?2017x?2024?0的两根，则使Sn?0成立的正整数n的最大值是（ ）
A．1008
B．1009
C．2016
D．2017
8．下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
4A．y?x?
xC．y?ex?4e?x
B．y?2(x2?3)x?22
D．y?sinx?4(0?x??) sinx9．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列?an?，则log2?a3?a5?的值为（ ） A．8
B．10
C．12
D．16
10．已知?an?是等比数列，a2?2，a5?A．161?41，则a1a2?a2a3?????anan?1?（ ） 4C．
??n?
B．161?2??n?
321?2?n? ?3D．
321?4?n? ?311．已知等比数列?an?的各项均为正数，若log3a1?log3a2???log3a12?12，则a6a7＝（ ） A．1
B．3
C．6
D．9
12．若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
cd? ab二、填空题
x?3y?4?013．已知变数x,y满足约束条件{x?2y?1?0,目标函数z?x?ay(a?0)仅在点(2,2)3x?y?8?0处取得最大值，则a的取值范围为_____________．
14．在?ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，若c2?3absinC，则当时，cosC=__________； 15．在数列?an?中，“an?ba
?取最大值ab
112nb??????n?N*?，又naa，则数列
n?1n?1n?1nn?1?bn?的前n项和Sn为______．
16．设无穷等比数列?an?的公比为q，若a1?a3?a4?a5?…，则
q?__________________．
17．在
中，若
，则
__________．
18．已知各项为正数的等比数列?an?满足a7?a6?2a5，若存在两项am,an使得
am?an?22a1，则
14?的最小值为__________． mn19．已知数列?an?满足a1?33,an?1?an?2n,则
an的最小值为__________. n520．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e，则
lna1?lna2?L?lna20等于__________．
三、解答题
21．设 （2）若
的内角 的对边分别为 已知
，
，求
的面积．
．
（1）求角 ；
22．在?ABC中A,B,C的对边分别a,b,c，若f(x)?2sin(2x??6)，f(C)??2，
c?7，sinB?2sinA，
（1）求C （2）求a的值．
23．已知角A，B，C为等腰?ABC的内角，设向量m?(2sinA?sinC,sinB)，
rrrrn?(cosC,cosB)，且m//n，BC?7 （1）求角B；
（2）在?ABC的外接圆的劣弧?AC上取一点D，使得AD?1，求sin?DAC及四边形
ABCD的面积．
24．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC.
（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.
n25．设数列?an?满足a1?3,an?1?an?2?3．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式an；
（Ⅱ）若bn?nan，求数列?bn?的前n项和Sn．
26．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1． （1）求角A的大小； （2）若△ABC的面积S=5
，b=5，求sinBsinC的值．
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一、选择题 1．B 解析：B
【解析】 【分析】 【详解】
∵点M(a,b)与点N(0,?1)在直线3x?4y+5=0的两侧,
∴?3a?4b?5??3?0?4?5??0，即3a?4b?5?0，故①错误； 当a?0时,a?b?5，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误； 4设原点到直线3x?4y+5=0的距离为d,则d?53?(?4)22?1,则a2?b2>1，故③正确；
当a?0且a≠1时,
b?1表示点M(a,b)与P(1,?1)连线的斜率． a?1535?19,又直线3x?4y+5=0的斜率为， ∵当a?0,b=时,b?14???44a?1?149??3??b?1??,?故的取值范围为????,???，故④正确.
4??4a?1??∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得得
1?3?1?csin?,?c?2,由余弦定理232
考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．
3．C
解析：C 【解析】
y?4试题分析：直线x?m?y?4?恒过定点(0,4)，当m?0时，约束条件{x?y?0x?m?y?4?对应
uuuruuur的可行域如图，则OP??OA???R?的最小值为M?0，满足M?2，当m?0时，y?4直线x?m?y?4?与y轴重合，平面区域{x?y?0x?m?y?4?为图中y轴右侧的阴影区域，则
uuuruuurOP??OA???R?的最小值为M?0，满足M?2，当m?0时，由约束条件y?4{x?y?0x?m?y?4?uuuruuury?x4m4m4mM?OB，联立{,)，所以OB?2，解得B(，由
x?m(y?4)m?1m?1m?124m111?2，解得??m?，所以??m?0，综上所述，实数m的取值范围是m?1353uuuruuur表示的可行域如图，点P与点B重合时，OP??OA???R?的最小值为
?1??,???，故选C. ?3??
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.
4．B
解析：B 【解析】
分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
2024年高三数学下期中试卷(含答案)
