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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 讲对称式和轮换对称式(含答案)

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第二讲 讲对称式和轮换对称式

趣题引路】

若正数x1,x2,x3,x4,x5,x6.同时满足

x2x3x4x5x6xxxxxxxxxxxxxxx?1,34561?2,45612?3,56123?4,

x3x1x2x4x6x1x2x3x4xxxxx?6,12345?9,则x1?x2?x3?x4?x5?x6的值是多少? x5x6若将六式左右分别相乘得(x1x2x3x4x5x6)4?64,因此x1x2x3x4x5x6?6,将已知式分别代入上式可得x1?6,

x2?3,

x3?2,

x4?62,

x5?1,

x6?63.所以

x1?x2?x3?x4?x5?x6?1?2?3?116视六数之积为整体,可巧妙地消元求解!对于具备特殊结6构的代数式或方程,我们也要学会运用特殊的解题策略.

知识拓展】 1.对称多项式

观察a?b?c,ab?bc?ca,a3?b3?c3?3ab?3bc?3ca,a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2等多项式,如果任意互换两个元的位置,所得的多项式与原式恒等,像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式).上述四个式子也可分别称为三元对称多项式,又如x4?(x?y)4?y4是二元对称多项式. 2.轮换对称多项式

一个关于x、y、z…、w的多元多项式,若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y,y换成z,w换成x),多项式不变,这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式).

例如x2y?y2z?z2x,(a-b+c)( b-c+a)( c-a+b)都是三元轮换对称式.显然,对称多项式都是轮换对称多项式,而轮换对称多项式则不一定是对称多项式,如:x2y?y2z?z2x是轮换式,但因互换x、y得到的是y2x?x2z?z2y已不是原式,所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)也是如此,即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式. 3.对称式的性质

(1)关于x、y的对称式总可以用x+y和xy来表示. (2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式 (3)齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式.

4.对称多项式和轮换多项式的因式分解:运用因式分解定理和待定系数法.

()

一、对称式、轮换对称式的求值技巧

例1 已知xy?x?y?4,则(xy?1)2?2x2y?2xy2?x2?y2?6xy?2x?2y的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点,易见,它们都是关于x、y的对称式,根据对称式的性质,所求式可用x+y和xy来表示,先化简后再求值. 解 设x+y=u,xy=v,由题设得v-u=4,则

2原式=(xy?1)2?2xy(x?y)???(x?y)?2xy???6xy?2(x?y)

=(v-1)-2vu+u-2v+6v-2u =v-2vu+u+2v-2u+1 =(v-u+1)=25.

点评:对称换元有利于简化解题过程.

例2 计算:(x+y+z)(xy+yz+zx).

解析 因为x+y+z和xy+yz+zx都是轮换对称式,所以它们的积也是轮换对称式.因此,做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项,然后根据轮换对称性写出其余各项.

解:∵x(xy+yz+zx)=xy+xyz+zx,

∴原式=xy+xyz+zx+yz+yzx+xy+zx+zxy+yz =xy+yz+zx+xy+yz+zx+3xyz.

点评:由已知代数式的对称性,可知其展开式亦是对称的,从而可由一项写出对称的其他,这样解题就会既简明又准确.

二、对称式的因式分解

例3 分解因式:x(y-z)+y(z-x)+z(x-y).

解析 这是一个关于x、y、z的四次齐次轮换对称式,当x=y时,原式的值为零,根据余式定理知x-y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y-z和z-x也是它的因式.因为(x-y)(y-z)(z-x)是三次轮换对称式,所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式,不妨设为k(x+y+z),从而有

x(y-z)+y(z-x)+z(x-y) =k(x+y+z)(x-y)(y-x)(z-x). 取x=2,y=1,z=0,得k=-1. ∴x(y-z)+y(z-x)+z(x-y) =-(x+y+z)(x-y)(y-z)(z-x) .

点评:由对称性来探究可能分解出的因式,这是因式分解的一种十分有趣的方法.

例4 把x+(x+y)+y分解因式. ()

4

4

4

3

3

3

3

3

33

3

3

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2

2

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22

解析 这是一个二元对称多项式,分解因式时一般将原式用x+y、xy表示出来再进行分解. 解:x+(x+y)+y =(x+y)+(x+y) =(x+y)-2xy+(x+y) =[(x+y)-2xy]-2xy+(x+y) =2(x+y)-4xy(x+y)+2xy =2[(x+y)-xy] =2(x2+xy+y2)2.

点评:实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、xy表示出来,对于给定的对称式,往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时;实际可以直接由(x+y)4的展开形式,直接将x4+y4用x+y、xy来表示,即x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy3=(x+y)4-4xy(x+y)2+2(xy)2.

例5 分解因式:(x-y)5+(y-x)5+(z-x)5.

解析 这是一个5次轮换对称多项式,只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式,若在原多项式中令x=y,则原式=(x-z)5+(z-x)5=0.根据因式定理,则x-y是原式的一个因式,于是y-z、z-x也是它的因式.

解:因为当x=y时,(x-y)5+(y-x)5+(z-x)5=0,所以原多项式有因式(x-y)(y-z)(z-x). 由于原多项式是5次轮换对称式,根据其特点可设 (x-y)5+(y-z)5+(z-x)5

=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x2+y2+z2)+b(xy+yx+zx)] ① 其中a、b是待定系数.

取x=1,y=-1,z=0代入①式得2a-b=15. ② 取x=2,y=1,z=0代人①式得5a+2b=15. ③ 将②、③两式联立解得a=5,b=-5. 所以 (x-y)5+(y-z)5+(z-x)5

=5(x-y)(y-z)(z-x)(x2+y2+z2-xy-yx-zx).

点评:在解本题的过程中,设了一个因式为a(x2+y2+z2)+b(xy+yx+zx),若不是这种形式,不妨设为x2-y2+z2,由轮换式,就会有另两个因式y2-z2+x2及z2-x2+y2,这样原式就至少为9次,从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx).

也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一定为对称多项式.

三、综合应用

例6 已知a+b>c,b+c>a,a+c>b,求证:a3+b3+c3-a(b-c)2-b(c-a)2-c(a-b)2-4abc<0. ()

2

2

4

2

22

2

2

22

4

2

22

22

4

4

4

4

4

4

4

解析 要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式,只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.

证明:设T=a3+b3+c3-a(b-c)2-b(c-a)2-c(a-b)2-4abc. 把该多项式看作是关于a的3次多项式,令a=b+c, 则T=(b+c)3+b3+c3-(b+c)(b-c)2-b3-c3-4(b+c)bc =2(b3+c3)+3b2c+3bc2-2(b3+c3)+b2c+bc2-4b2c-4bc2 =0.

由因式定理知,a-(b+c)是T的一个因式.

又由于T是一个轮换对称式,于是b-(c+a),c-(a+b)也是T的因式,因为T是关于a、b、c的3次式,所以可设T=k(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b).

比较两边a3的系数可得k=1. 故T=(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b). 根据题意 a+b>c,b+c>a,a+c>b. 则有c-a-b<0,a-b-c<0,b-a-c<0. 所以T<0.即原不等式成立.

例7 设△ABC的三边长分别为a、b、c,且解析 已知等式去分母,得

(a-b)(1+bc)(1+ca)+(b-c)(1+ca)(1+ab)+(c-a)(1+ab)(1+bc)=0.

上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把(a-b)(1+bc)(1+ca)展开、整理,得a-b-b2c+ca2+a2bc2-ab2c2.根据轮换对称式的性质,可直接写出其余各项.

由此,上式可写为

a-b-b2c+ca2+a2bc2-ab2c2+b-c-c2a+ab2+b2ca2-bc2a2+c-a-a2b+bc2+c2ab2-ca2b2=0. 整理,得ab2+bc2+ca2-a2b-b2c-c2a=0. 设M=ab2+bc2+ca2-a2b-b2c-c2a.

当a=b时,M=0,由因式定理知a-b是M的一个因式.而M是关于a、b、c的三次齐次轮换对称式,故M含有因式(a-b)(b-c)(c-a).又(a-b)(b-c)(c-a)也是三次齐次轮换对称式,则M还应有一个常因子,于是可设

ab2+bc2+ca2-a2b-b2c-c2a=k(a-b)(b-c)(c-a). 取a=2,b=1,c=0,得k=1. ∴M=(a-b)(b-c)(c-a)=0.

∴a=b或b=c或c=a,即a、b、c中至少有两个相等. 故△ABC必为等腰三角形. 好题妙解】

佳题新题品味

a?bb?cc?a++=0,试判断△ABC的形状. 1?ab1?bc1?ca ()

例 分解因式x3(x+1)(y-z)+y3(y+1)(z-x)+z3(z+1)(x-y).

解析 由于原式是x,y,z的轮换式但不是齐次式,所以当求得(y-z)(z-x)(x-y)的因式后,剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+C(x+y+z)+D.

解:当y=z时,原式=0.∴y-z是原式的一个因式.

设原式=(y-z)(z-x)(x-y)[ A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+C(x+y+z)+D]. 由于原式最低为四次项,∴D=0.

∴原式=(y-z)(z-x)(x-y)[ A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+C(x+y+z)]. 令x=l,y=-1,z=0得2A-B=-1; ① 令x=-1,y=0,z=2得5A-2B+C=-4; ② 令x=1;y=-1,z=2得6A-B+2C=-7. ③ 解①,②,③组成的方程组,得A=B=C=-1.

故原式=-(y-z)(z-x)(x-y)(x2+y2+z2+yz+zx+xy+x+y+z).

中考真题欣赏

例 (陕西省中考题)分解因式:6x-6y-9x2+18xy-9y2-1.

解析 关于x,y的对称式可用含x+y,x-y,xy的式子表示,考虑分组. 解:6x-6y-9x2+18xy-9y2-1=-(9x2-18xy+9y2)+(6x-6y)-1 =-[9(x2-2xy+y2)-6(x-y)+1] =-[9(x-y)2-2×3(x-y)+1] =-[3(x-y)-1]2 =-(3x-3y-1)2.

竞赛样题展示

例 分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c5.

解析 这是一个五次对称多项式,只要找到它的一个因式,就能找出与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a=-b,则原式=c5-c5=0,根据因式定理,则a+b是原式的一个因式,于是(b+c)、(c+a)也是它的因式.

解:因为当a=-b时,(a+b+c)5-a5-b5-c5=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a). 由于原式是5次对称多项式,根据其特点,可设(a+b+c)5-a5-b5-c5 =(a+b)(b+c)(c+a)[k(a2+b2+c2)+m(ab+bc+ca)]. ① 其中k、m是有待确定的系数.

令a=1,b=1,c=0,代人①式得30=2(2k+m),即2k+m=15. 又令a=0,b=1,c=2,代人①式得210=6(5k+2m),即5k+2m=35. 由此解得k=5,m=5.所以 (a+b+c)5-a5-b5-c5

=5(a+b)(b+c)(c+a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca) ()

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 讲对称式和轮换对称式(含答案)

第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数x1,x2,x3,x4,x5,x6.同时满足x2x3x4x5x6xxxxxxxxxxxxxxx?1,34561?2,45612?3,56123?4,x3x1x2x4x6x1x2x3x4xxxxx?6,12345?9,则x1?x2?x3?x4?x5?x6的值是多少?x5
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