第1课时 简单的三角恒等变换
1．了解半角公式及推导过程．
2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明． 3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．
1．半角公式
降幂公式 sin2半角公式 sin＝± 2cos＝± 2tan＝± 2α1－cosα＝ 22ααα1－cosα 21＋cosα 21－cosα 1＋cosαcos2α1＋cosα＝ 22tan2α1－cosα＝ 21＋cosα2.辅助角公式 basinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)．(其中tanθ＝)．
a
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin15°＝± (2)cos15°＝1－cos30°
.( ) 21－cos30°
.( ) 2
α1＋cosα(3)tan＝.( )
2sinα(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一 求值问题
43πααα【典例1】 已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
52222[思路导引] 由α是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围． 223π4
[解] ∵π<α<，sinα＝－，
253πα3π
∴cosα＝－，且<<，
5224∴sin＝2cos＝－2
ααα1－cosα25
＝， 251＋cosα5
＝－， 25
αtan＝2
αsincos
α22
α＝－2.
解决给值求值问题的思路方法
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[针对训练]
αα1α1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
2225α?21?α[解] 由题意得?sin－cos?＝，
22?5?
14
即1－sinα＝，得sinα＝.
553
∵450°<α<540°，∴cosα＝－，
5sinsin
22α1－cosα∴tan＝＝＝
2αααsinαcossincos222
α2
α?3?1－?－??5?＝＝2.
45
题型二三角函数式的化简
?1＋sinα＋cosα??sin－cos?22??
【典例2】 化简：(180°<α<360°)．
2＋2cosα[思路导引] 利用二倍角公式将α角转化为角，注意被开方式子的正负．
2[解] 原式＝
?
αα?α?2cos2α＋2sinαcosα??sinα－cosα???222?22?????
2·2cos
2α
2
????2cos?cos＋sin??sin－cos?22??22?2?＝ α??2?cos?2??
cos?－cosα?
2＝.
?cosα???2??
又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，
22cos·?－cosα?
2
∴原式＝＝cosα.
α－cos
2[变式] 若本例中式子变为：
ααααααααα???1－sinα－cosα??sin＋cos?22??
(－π<α<0)，求化简后的式子．
2－2cosα[解] 原式＝
αα?2sin2α－2sinαcosα??sinα＋cosα???222?22?????
2·2sin
2α
2
????2sin?sin－cos??sin＋cos?22??22?2?
＝ α??2?sin?2??
sin?sin－cos?－sincosα22?2?2
＝＝.
αα?sin??sin?????2?2???παα因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，
222－sincosα2
所以原式＝＝cosα.
α－sin
2
αααααα?2
α2
α?αα
化简问题中的“3变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
[针对训练]
3π
2．已知π<α<，化简：
2
1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋
1－sinα1＋cosα＋1－cosα.
?sinα＋cosα?2??22??
[解] 原式＝＋
α?α???2?cos?－2?sin?2?2????sinα－cosα?2
?22???
，
α?α???2?cos?＋2?sin?2?2???
3ππα3π
∵π<α<，∴<<. 2224∴cos<0，sin>0. 22
αα?sinα＋cosα?2
??22??
∴原式＝＋
αα??－2?sin＋cos?22??
ααα?sinα－cosα?2
??22??
αα??2?sin－cos?22??
sin＋cossin－cos
2222
＝－＋ 22＝－2cos. 2
题型三三角恒等式的证明
1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ【典例3】 求证：＝. 2
2tanθ1－tanθ[思路导引] 注意到
2tanθ＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形2
1－tanθαα后式子的另一端也等于tan2θ.
[证明] 要证原式，可以证明 1＋sin4θ－cos4θ2tanθ＝. 2
1＋sin4θ＋cos4θ1－tanθsin4θ＋?1－cos4θ?
∵左边＝ sin4θ＋?1＋cos4θ?2sin2θcos2θ＋2sin2θ＝ 22sin2θcos2θ＋2cos2θ＝
2sin2θ?cos2θ＋sin2θ?
＝tan2θ，
2cos2θ?sin2θ＋cos2θ?
2tanθ＝tan2θ， 21－tanθ2
右边＝
∴左边＝右边，∴原式得证．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2.1简单的三角恒等变换学案新人教A版必修第一册
