北京师范大学第三附属中学数学几何模型压轴题综合测试卷（word
含答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，
1AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，3连接PC，且ABE为等边三角形．
AP＝
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是 ，AP与EC的数量关系是 ．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长． 4
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）【解析】 【分析】
67 7（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC； （2）成立，理由如下， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴△PBC是等边三角形， ∴
3293PC＝，
44∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t， ∴AC＝2t， ∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°， ∴AD＝
1AC＝t，CD＝3AD＝3t， 2∵PD2+CD2＝PC2， ∴（2t）2+3t2＝9， ∴t＝37（负值舍去）， 767． 7∴AC＝2t＝【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾
股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．
2．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若
A1En?6?1，求的值．
mEC（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，
BEn?，设AB=33，试探究点E移动过程中，PFBGm是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
在BE左侧作矩形BEFG且始终保持
【答案】（1）【解析】 【分析】
35；（3）存在，6?3 ?；（2）36（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；
2CEA2D2nA1En???6?1推出2BCEBADCE=（）由△∽△22，推出，可得，由CBA2BmECmA1Cn2n2?6，推出A1C=6?，推出BH=A1C=6?，然后由勾股定理建立方程，解ECmm方程即可解决问题；
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到
FDFG3，再结合已知条件和解??FMFE3直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值. 【详解】
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2， ∴BA1=2HA1， ∴∠ABA1=30°， ∴旋转角为30°， ∵BD=12?22?5， ∴D到点D1所经过路径的长度=（2）∵△BCE∽△BA2D2，
30???55??； 1806CEA2D2n??， ∴CBA2Bmn2∴CE?，
mEA∵1?6?1， ECAC∴1?6， ECn2∴A1C=6?，
mn2∴BH=A1C=m?n?6?，
m22n4∴m?n?6?2，
m∴m4﹣m2n2=6n4，
22n2n4∴1?2?6?4，
mm∴
n3（负根已舍去）． ?m3（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；
由（2）可知，
BEn3， ??BGm3∵四边形BEFG是矩形， ∴
FG3， ?FE3∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°， ∴∠DFG=∠MFE， ∵DF⊥PF，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°， ∴∠FDG=∠FME， ∴△FDG∽△FME， ∴
FDFG3， ??FMFE3FD3， ?FM3∵∠DFM=90°，tan?FMD?∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴FM?3DM； 2AD3， ?AB3在矩形ABCD中，有
即AD3，则AD?3， ?333∵MN⊥AB，
∴四边形ANMD是矩形， ∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°， ∴PM=2MN=6， ∴NP=33?AB， ∴DM=AN=BP=2，
北京师范大学第三附属中学数学几何模型压轴题综合测试卷(word含答案)
