课标文数10.B8[2011·安徽卷] 函数f(x)＝axn(1－x)2在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则n可能是( )
图1－2
A．1 B．2 C．3 D．4 课标文数10.B8[2011·安徽卷] A 【解析】 由函数图像可知a>0.当n＝1时，f(x)＝ax(1
1232
－x)＝a(x－2x＋x)，f′(x)＝a(3x－1)(x－1)，所以函数的极大值点为x＝<0.5，故A可能；
3
当n＝2时，函数f(x)＝ax2(1－x)2＝a(x2－2x3＋x4)，f′(x)＝a(2x－6x2＋4x3)＝ 2ax(2x－
1
1)(x－1)，函数的极大值点为x＝，故B错误；
2
32
当n＝3时，f(x)＝ax(1－x)＝a(x5－2x4＋x3)，f′(x)＝ax2(5x2－8x＋3)＝ax2(5x－3)(x－
3
1)，函数的极大值点为x＝>0.5，故C错误；
54
当n＝4时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x6－2x5＋x4)，f′(x)＝a(6x5－10x4＋4x3)＝2ax3(3x－2)(x
2
－1)，函数的极大值点为x＝>0.5，故D错误．
3
课标理数10.B8[2011·安徽卷] 函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则m，n的值可能是( )
图1－2
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1 课标理数10.B8[2011·安徽卷] B 【解析】 由图可知a＞0.当m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1
1
－x)的图像关于直线x＝对称，所以A不可能；
2
当m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)， f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(3x－1)(x－1)，
1
所以f(x)的极大值点应为x＝＜0.5，由图可知B可能．
32
当m＝2，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)＝a(x2－x3)，
2
f′(x)＝a(2x－3x)＝－ax(3x－2)，
2
所以f(x)的极大值点为x＝＞0.5，所以C不可能；
3
当m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)， f′(x)＝a(3x2－4x3)＝－ax2(4x－3)，
3
所以f(x)的极大值点为x＝＞0.5，所以D不可能，故选B.
4
2??，x≥2，
课标理数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝?x若关于x的方程f(x)＝k
??x－1?3，x＜2.?
有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 课标理数13.B8[2011·北京卷] (0,1) 【解析】 函数f(x)的图象如图1－5所示：
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图1－5
由上图可知0 2??，x≥2， 课标文数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝?x若关于x的方程f(x)＝k ??x－1?3，x＜2.?有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 课标文数13.B8[2011·北京卷] (0,1) 【解析】 函数f(x)的图象如图1－3所示： 图1－3 由上图可知0 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1] 2 时f(x)＝x，那么函数y＝f(x)的图像与函数y＝|lgx|的图像的交点共有( ) A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点． 图1－5 13 右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝－2cos2π＝－<0，所以x＝2π应在函数 22 的减区间上，所以选C. 第 17 页 共 65 页 x 课标文数10.B8[2011·山东卷] 函数y＝－2sinx的图象大致是( ) 2 图1－2 课标文数10.B8[2011·山东卷] C 【解析】 由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)为奇函数，所以 1 排除A；又f′(x)＝－2cosx，当x在x轴右侧，趋向0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x轴 2 13 右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝－2cos2π＝－＜0，所以x＝2π应在函 22 数的减区间上，所以选C. 1 课标文数4.B8[2011·陕西卷] 函数y＝x的图象是( ) 3 图1－1 1 课标文数4.B8[2011·陕西卷] B 【解析】 因为y＝x，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)， 3 1 则只剩B，C.因为y＝xα中α＝，图象靠近x轴，故答案为B. 3 课标数学8.B8[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数2 f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________． x y＝kx，??2 课标数学8.B8[2011·江苏卷] 4 【解析】 设直线为y＝kx(k>0)，??x2＝，2 k ?y＝x? y2＝k2x2＝2k， 2 所以PQ＝2OP＝x2＋y2＝2＋2k≥224＝4. k 1?x 大纲文数4.B8[2011·四川卷] 函数y＝??2?＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( ) 图1－1 第 18 页 共 65 页 11 大纲文数4.B8[2011·四川卷] A 【解析】 由y＝??x＋1可得其反函数为y＝log(x－ ?2?2 1)(x>1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法． 第 19 页 共 65 页 12 课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x， 4 22 实数p，q满足p－4q≥0，x1，x2是方程x－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}． 12? (1)过点A?p0，p0(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p，?4? |p| q)，有φ(p，q)＝0； 2 2 (2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1， 1?12??l2，切点分别为E?p1，p2，E′p，1 ??24p2?，l1，l2与y轴分别交于F、F′.线段EF上异于两4? |p1| 端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝； 2 ?15?2 (3)设D＝??x，y??y≤x－1，y≥?x＋1?－?.当点(p，q)取遍D时，求φ(p，q)的最小 ?44?? 值(记为φmin)和最大值(记为φmax)． 11 课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l的方程为y＝p0x－p2. 240 |p|＋p2－4q|p|＋?p－p0?2 ?Q(p，q)∈AB有φ(p，q)＝＝. 22 p＋p0－pp0|p0| 当p0>0时，0≤p≤p0，于是φ(p，q)＝＝＝； 222 －p＋p－p0－p0|p0| 当p0<0时，p0≤p≤0，于是φ(p，q)＝＝＝. 222 11112 (2)l1，l2的方程分别为y＝p1x－p21，y＝p2x－p2. 2424 p1＋p2p1p2?求得l1，l2交点M(a，b)的坐标??2，4?. 2 由于a－4b>0，a≠0，故有|p1|≠|p2| . ①先证：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设M(a，b)∈X. p1＋p2 当p1>0时，0< 2 |p1|>|p2|； p1＋p2 当p1<0时，p1<<0?2p1 2 |p1|>|p2|. p1＋p2p2?p2 (?)设|p1|>|p2|，则?<1?－1<<1?0<<2. ?p1?p1p1p1＋p2 当p1>0时，0< 2 p1＋p2p1<<0， 2 注意到M(a，b)在l1上，故M(a，b)∈X. |p| ②次证：M(a，b)∈X?φ(a，b)＝1. 2 |p| (?)已知M(a，b)∈X，利用(1)有φ(a，b)＝1. 2 |p1| (?)设φ(a，b)＝，断言必有|p1|>|p2|. 2 若不然，|p1|<|p2|.令Y是l2上线段E′F′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式① |p2||p1| M(a，b)∈Y.再由(1)得φ(a，b)＝≠，矛盾．故必有|p1|>|p2|.再由等价式①，M(a，b)∈ 22 X. 第 20 页 共 65 页
[数学]2012新题分类汇编：函数与导数（高考真题+模拟新题）
