－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.
课标理数21.B12[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性；
11?＞f?1－x?； (2)设a＞0，证明：当0＜x＜时，f?＋x?a??a?a
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′(x0)＜0.
1
课标理数21.B12[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax
x
?2x＋1??ax－1?
＋(2－a)＝－.
x
①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调增加．
11?1
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈?0，时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)
?a?aa
1??1，＋∞?单调减少． ＜0.所以f(x)在?0，单调增加，在?a??a?
1??1?
(2)设函数g(x)＝f??a＋x?－f?a－x?，则 g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
aa2a3x2
g′(x)＝＋－2a＝22.
1＋ax1－ax1－ax1
当0＜x＜时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0.
a11??1?
故当0＜x＜时，f??a＋x?＞f?a－x?. a(3)由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图像与x轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)
1??1?>0. 的最大值为f?，且f?a??a?1
不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0 a 211 由(2)得f?－x1?＝f?＋－x1?>f(x1)＝0. ?a??aa? x1＋x212 从而x2>－x1，于是x0＝>. a2a 由(1)知，f′(x0)<0. 课标文数11.B12[2011·辽宁卷] 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 课标文数11.B12[2011·辽宁卷] B 【解析】 设G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f′(x)>2，所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. 课标文数16.B12[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 课标文数16.B12[2011·辽宁卷] (－∞，2ln2－2] 【解析】 由于f(x)＝ex－2x＋a有零点，即ex－2x＋a＝0有解，所以a＝－ex＋2x. 令g(x)＝－ex＋2x，由于g′(x)＝－ex＋2，令g′(x)＝－ex＋2＝0解得x＝ln2. 第 46 页 共 65 页 当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)＝－ex＋2>0，此时为增函数；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＝－ex＋2<0，此时为减函数． 所以，当x＝ln2时，函数g(x)＝－ex＋2x有最大值2ln2－2，即g(x)＝－ex＋2x的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a∈(－∞，2ln2－2]． 课标文数20.B12[2011·辽宁卷] 设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. b 课标文数20.B12[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f′(x)＝1＋2ax＋. x ???f?1?＝0，?1＋a＝0， 由已知条件得?即? ?f′?1?＝2.?1＋2a＋b＝2.?? 解得a＝－1，b＝3. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx. 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 ?x－1??2x＋3?3 g′(x)＝－1－2x＋＝－. xx 当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0. 所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少． 而g(1)＝0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. alnxb 课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) x＋1x 处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； lnx (2)证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>. x－1 x＋1?a?－lnx?x?b 课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)f′(x)＝－2. 2?x＋1?x f?1?＝1，??1 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故?即1 2 ?f′?1?＝－2，? b＝1，?? ?a 1－b＝－，?2?2 解得a＝1，b＝1. lnx1 (2)由(1)知f(x)＝＋，所以 x＋1x x2－1?lnx1? f(x)－＝2lnx－. x－11－x2?x?x2－1 考虑函数h(x)＝2lnx－(x>0)，则 x 222 ?x－1?22x－?x－1? h′(x)＝－＝－. xx2x2所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，故 1 当x∈(0,1)时，h(x)>0，可得2h(x)>0. 1－x 第 47 页 共 65 页 1 当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得2h(x)>0. 1－xlnx 从而当x>0，且x≠1时，f(x)－>0， x－1 lnx 即f(x)>. x－1 由于l≥2r， 因此0＜r≤2. 420?22 所以建造费用y＝2πrl×3＋4πrc＝2πr×?2－r×3＋4πrc， ?3?r 160π 因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2. r 160π (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－2 r 8π?c－2??320?＝2?r－c－2?，0＜r≤2. r 由于c＞3，所以c－2＞0. 320 203 当r－＝0时，r＝. c－2c－2320令＝m，则m＞0， c－2 8π?c－2? 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． 2r 9 ①当0＜m＜2即c＞时， 2 当r＝m时，y′＝0； 当r∈(0，m)时，y′＜0； 当r∈(m,2]时，y′＞0. 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点． 9 ②当m≥2即3＜c≤时， 2 当r∈(0,2]时，y′＜0，函数单调递减， 所以r＝2是函数y的最小值点． 第 48 页 共 65 页 9 综合所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2； 2 320 9 当c＞时，建造费用最小时r＝. 2c－2 ex 课标文数18.B12[2011·安徽卷] 设f(x)＝，其中a为正实数． 1＋ax24 (1)当a＝时，求f(x)的极值点； 3 (2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 课标文数18.B12[2011·安徽卷] 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力． 2 x1＋ax－2ax 【解答】 对f(x)求导得f′(x)＝e.① ?1＋ax2?24 (1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 331 解得x1＝，x2＝. 22 结合①可知 13?－∞，1? ?1，3? ?3，＋∞? x ??22??2?2?22f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 31所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点． 22 (2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0 课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； 1 (2)讨论g(x)与g??的大小关系； ?x? 1 (3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立． a 1 课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋. x x－1 ∴g′(x)＝2.令g′(x)＝0得x＝1， x 当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间． 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间， 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以g(x)的最小值为g(1)＝1. 1?(2)g??x?＝－lnx＋x. 11 设h(x)＝g(x)－g??＝2lnx－x＋， ?x?x 2 ?x－1? 则h′(x)＝－2. x 1? 当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g??x?， 第 49 页 共 65 页 当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0. 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0. 1? 即g(x)＞g??x?. 当x>1时，h(x) 1? 即g(x) 11 (3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)<，对任意x>0成立?g(a)－1<， aa 即lna＜1，从而得0＜a＜e. 课标数学19.B12[2011·江苏卷] 已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx, f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致． (1)设a>0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b的取值范围； (2)设a<0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值． 课标数学19.B12[2011·江苏卷] 本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力． 【解答】 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b. (1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a>0，故3x2＋a>0，进而2x＋b≥0，即b≥－2x在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.因此b的取值范围是[2，＋∞)． a (2)令f′(x)＝0，解得x＝±－. 3 若b>0，由a<0得0∈(a，b)．又因为f′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的．因此b≤0. a 现设b≤0.当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；当x∈?－∞，－－?时，f′(x)>0.因此当x ?3? aa1a ∈?－∞，－－?时，f′(x)g′(x)<0.故由题设得a≥－－且b≥－－，从而－?3333?111 ≤a<0，于是－≤b≤0，因此|a－b|≤，且当a＝－，b＝0时等号成立． 33311?2?－1，0?时f′(x)g′(x)>0，又当a＝－，b＝0时，f′(x)g′(x)＝6x?x－，从而当x∈ ??3?39?1?上单调性一致．因此|a－b|的最大值为1. 故函数f(x)和g(x)在?－，0?3?3 课标理数19.B12[2011·天津卷] 已知a>0，函数f(x)＝lnx－ax2，x>0(f(x)的图象连续不断)． (1)求f(x)的单调区间； 13?(2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f??2?； 8 ln3－ln2ln2 (3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明≤a≤. 532 1－2ax1 课标理数19.B12[2011·天津卷] 【解答】 (1)f′(x)＝－2ax＝，x∈(0，＋∞)．令 xx 2a f′(x)＝0，解得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2a ?2a? 2a?2a? x 0， ，＋∞??2a?2a?2af′(x) ＋ 0 － 第 50 页 共 65 页
【数学】2012新题分类汇编：函数与导数(高考真题+模拟新题)
