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[数学]2012新题分类汇编:函数与导数(高考真题+模拟新题)

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课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y=的定义域是________.

26-x-x

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 【答案】 (-3,2)

【解析】 由函数解析式可知6-x-x2>0,即x2+x-6<0,故-3

课标理数15.B1,M1[2011·福建卷] 设V是全体平面向量构成的集合,若映射f:V→R满足:

对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b).

则称映射f具有性质P. 现给出如下映射:

①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;

2

②f2:V→R,f2(m)=x+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.

其中,具有性质P的映射的序号为________.(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1,M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】 设a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,则

λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2), ①f1(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2-[λy1+(1-λ)y2] =λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)=λf1(a)+(1-λ)f1(b), ∴映射f1具有性质P;

②f2(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2],

2

λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x21 +y1 ) + (1-λ)(x2 + y2 ), ∴f2(λa+(1-λ)b)≠λf2(a)+(1-λ)f2(b), ∴ 映射f2不具有性质P;

③f3(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2+(λy1+(1-λ)y2)+1

=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λf3(a)+(1-λ)f3(b), ∴ 映射f3具有性质P.

故具有性质P的映射的序号为①③.

x??2,x>0,

课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f(x)=?若f(a)+f(1)=0,则实数a

?x+1,x≤0.?

的值等于( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3 课标文数8.B1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知,得f(1)=2; 又当x>0时,f(x)=2x>1,而f(a)+f(1)=0, ∴f(a)=-2,且a<0,

∴a+1=-2,解得a=-3,故选A.

1

课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( )

1-x

A.(-∞,-1) B.(1,+∞)

C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)

??1-x≠0,

课标文数4.B1[2011·广东卷] C 【解析】 要使函数有意义,必须满足?所

?1+x>0,?

以所求定义域为{x|x>-1且x≠1},故选C.

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课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.

(1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为________________; (2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为________. 课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a(a为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f是正整数到正整数的映射,因为k=1,所以从2开始都是一一对应的,而1可以和任何一个正整数对应,故f在n=1处的函数值为任意的a(a为正整数);

(2)因为2≤f(n)≤3,所以根据映射的概念可得到:1,2,3,4只能是和2或者3对应,1可以和2对应,也可以和3对应,有2种对应方法,同理,2,3,4都有两种对应方法,由乘法原理,得不同函数f的个数等于16.

??lgx,x>0,

课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f(x)=?x则f(f(-2))=________.

?10,x≤0,?

??lgx,x>0,

课标文数11.B1[2011·陕西卷] -2 【解析】 因为f(x)=?x-2<0,f(-2)

?10,x≤0,?

=10

-2,

10>0,f(10)=lg10=-2.

-2-2-2

大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数,例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:

2

①函数f(x)=x(x∈R)是单函数;

x

②指数函数f(x)=2(x∈R)是单函数;

③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.

其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)[来源:Z§xx§k.Com] 大纲文数16.B1[2011·四川卷] ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解.对于①,如-2,2∈A,f(-2)=f(2),则①错误;对于②,当2x1=2x2时,总有x1=x2,故为单函数;对于③根据单函数的定义,函数即为一一映射确定的函数关系,所以当函数自变量不相等时,则函数值不相等,即③正确;对于④,函数f(x)在定义域上具有单调性,则函数为一一映射确定的函数关系,所以④正确.

??-x,x≤0,

课标理数1.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)=?2若f(α)=4,则实数α=( )

?x,x>0.?

A.-4或-2 B.-4或2

C.-2或4 D.-2或2 课标理数1.B1[2011·浙江卷] B 【解析】 当α≤0时,f(α)=-α=4,α=-4;

2

当α>0,f(α)=α=4,α=2.

4

课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)=,若f(α)=2,则实数α=________.

1-x

4

课标文数11.B1[2011·浙江卷] -1 【解析】 ∵f(α)==2,∴α=-1.

1-α

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大纲理数2.B2[2011·全国卷] 函数y=2x(x≥0)的反函数为( )

2xx2

A.y=(x∈R) B.y=(x≥0)

442

C.y=4x(x∈R) D.y=4x2(x≥0)

y2

大纲理数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y=2x得x=,∵x≥0,∴y≥0,则函

4

2x

数的反函数为y=(x≥0).故选B.

4

大纲文数2.B2[2011·全国卷] 函数y=2x(x≥0)的反函数为( )

22xx

A.y=(x∈R) B.y=(x≥0)

4422

C.y=4x(x∈R) D.y=4x(x≥0)

2y

大纲文数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y=2x得x=,∵x≥0,∴y≥0,则函

4

2x

数的反函数为y=(x≥0).故选B.

4

1?x

大纲理数7.B2[2011·四川卷] 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=??2?+1,则f(x)的反函数的图象大致是( )

图1-2

1?x

大纲理数7.B2[2011·四川卷] A 【解析】 当x>0时,由y=??2?+1可得其反函数为y1

=log(x-1)(1

2

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课标理数8.B3[2011·北京卷] 设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为( )

A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

课标理数2.B3,B4[2011·课标全国卷] 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )

A.y=x3 B.y=|x|+1

2-|x|

C.y=-x+1 D.y=2 课标理数2.B3,B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=|x|+1是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,

1

但在(0,+∞)上是减函数;D选项中,y=2-|x|=??|x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数.故

?2?选B.

课标文数3.B3,B4[2011·课标全国卷] 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )

A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x| 课标文数3.B3,B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=|x|+1是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,

1?|x|

但在(0,+∞)上是减函数;D选项中,y=2-|x|=?但在(0,+∞)上是减函数.故

?2?是偶函数,

选B.

课标数学2.B3[2011·江苏卷] 函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

1

课标数学2.B3[2011·江苏卷] ?-,+∞?

?2?

【解析】 因为y=log5x为增函数,故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为?-1,+∞?. ?2?

课标文数12.B3,B7[2011·天津卷] 已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为________.

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课标文数12.B3,B7[2011·天津卷] 18 【解析】 ∵log2a+log2b=log2ab≥1, ∴ab≥2,

∴3a+9b=3a+32b≥23a·32b=23a+2b≥2322ab=18.

大纲理数5.B3[2011·重庆卷] 下列区间中,函数f(x)=|ln?2-x?|在其上为增函数的是( )

4

A.(-∞,1] B.?-1,?

?3?3

C.?0,? D.[1,2) ?2?

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