第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
sin α22
[最新考纲] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin α＋cos α＝1，＝tan
cos αα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1； sin α(2)商数关系：tan α＝. cos α2．诱导公式 组序 角 正弦 余弦 一 2kπ＋二 π＋α －sin α －cos α 三 －α －sin α cos α 四 π－α sin α －cos_α －tan_α 五 π－α 2cos α sin α 六 π＋α 2cos_α －sin α 2
2
π2
α(k∈Z) sin α cos α 正切 口诀 tan α tan α －tan α 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限 [常用结论] 1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指函数名称的变化．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sinα＋cosβ＝1. sin α(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．
cos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．
2
2
2
π
的奇数倍和偶数倍，变与不变指2
( ) ( ) ( )
22
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.
33[答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．化简sin 690°的值是( )
1133
A. B．－ C. D．－ 2222
1
B [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B.]
22．若sin α＝
5π
，＜α＜π，则tan α＝________. 52
( )
1π252
－ [∵＜α＜π，∴cos α＝－1－sinα＝－， 225sin α1∴tan α＝＝－.]
cos α2
sin α＋cos α3．已知tan α＝2，则的值为________．
sin α－cos αtan α＋12＋1
3 [原式＝＝＝3.]
tan α－12－1⊙考点1 同角三角函数基本关系式 同角三角函数基本关系的应用技巧
sin α(1)弦切互化：利用公式tan α＝实现角α的弦切互化．
cos α(2)和(差)积转换：利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)“1”的变换：1＝sinα＋cosα＝cosα(tanα＋1)＝sinα(1＋).
2
2
2
2
2
2
“知一求二”问题
(1)[一题多解]已知cos α＝k，k∈R，α∈(，π)，则sin(π＋α)＝( ) A．－1－k C．±1－k
22
B.1－k D．－k
2
(1)A [(排除法)易知k＜0，从而sin(π＋α)＝－sin α＜0，排除选项BCD，故选A.]
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sin α或cos α时，符号的选取．
弦切互化
(1)(2019·郑州模拟)已知
3A. 5C．－3
sin α＋3cos α12
＝5，则cosα＋sin 2α的值是( )
3cos α－sin α2
3
B．－
5D．3
(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.
4sin α＋3cos αtan α＋3
(1)A (2)－ [(1)由＝5得＝5，可得tan α＝2，则
33cos α－sin α3－tan α1cosα＋sin αcos α1＋tan α32
cosα＋sin 2α＝cosα＋sin αcos α＝＝＝.故选A. 222
2cosα＋sinα1＋tanα5
2
2
(2)由(sin θ＋3cos θ)＝1＝sinθ＋cosθ，得6sin θcos θ＝－8cosθ，又因4
为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.]
3
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
2344
(1)若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sinθ＋cosθ＝( )
35A. 68C. 9
B.17 18
2222
2D. 3
2
(2)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )
A.
1－3
2
B.1＋3
2
C.3 D．－3
234
(1)B (2)B [(1)因为|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方，得1＋|sin 2θ|＝.
33111744222
所以|sin 2θ|＝.所以sinθ＋cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ＝.故选B.
3218
(2)因为sin θ，cos θ是方程2x＋(3－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝
1－3m2
，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)＝1＋2sin θ·cos θ＝122
2
2－33
＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ22
2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式
