一类二阶微分方程周期解的存在性和唯一性*
黄 勇1，姚晓洁2，秦发金2
【摘 要】利用Mawhin的重合度理论中的延拓定理，讨论了一类具有多个偏差变元的二阶中立型泛函微分方程(x(t)-cx(t-σ))″+f(x(t-τ(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)周期解问题，获得了这类方程存在唯一周期解新的充分条件，推广和改进了已有文献的相关结果.
【期刊名称】广西民族大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2014(020)004 【总页数】8
【关键词】二阶中立型泛函微分方程；周期解；存在性唯一性；重合度
0 引言
近年来，泛函微分方程周期解的存在性与唯一性问题，吸引了大量人员的研究，取得了很多好结果，比如文献[1-4]分别研究了如下泛函微分方程 x″(t)+Cx′(t)+g1(t,x(t-τ1(t)))+g2(t,x(t-τ2(t)))=p(t), x″(t)+f(x)x′(t)+g1(t,x(t-τ1(t)))+g2(t,x(t-τ2(t)))=p(t), (x(t)+Bx(t-δ))′=g1(t,x(t))+g2(t,x(t-τ(t)))+p(t), (x(t)+Bx(t-σ))″+Cx′(t)+g(t,x(t-τ(t)))=p(t),
周期解的存在性与唯一性问题，但其周期解的存在唯一性都要求函数gi(i=1,2)或g满足全局利普希思条件.最近文[5]研究了下面一类具有两个偏差变元的二阶微分方程
x″(t)+f(x(t-τ(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t) (1)
周期解的存在唯一性，其中τ,γ,e∈C(R,R)是连续的T-周期函数，τ′(t)<1,γ′(t)<1，
e(t)dt=0，f,g∈C1(R,R)且f(c)+g(c)≠e(t),?t,c∈R.利用重合度理论，获得了方程(1)周期解存在唯一性的新结果.
笔者研究如下一类具有多个偏差变元的二阶中立型泛函微分方程 (x(t)-cx(t-σ))″+f(x(t-τ(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t) (2)
周期解的存在性与唯一性，其中τ,γ,e∈C(R,R)是连续的T-周期函数，τ′(t)<1,γ′(t)<1，
e(t)dt=0，f,g∈C1(R,R)且f(b)+g(b)≠e(t),?t,b∈R,c,σ是常数且|c|≠1. 显然，当c=0时，方程(2)退化为方程(1).当c≠0时，利用不同的分析技巧和重合度理论，得到了方程(2)周期解存在性与唯一性的新条件，从而推广和改进了文[5]的结果.
为了应用延拓定理来讨论方程(2)，引进下面记号:
CT={x|x∈C(R,R),x∈(t+T)=x(t),?t∈R}，定义范数为‖x‖1=max{|x|∞}， ={x|x∈C1(R,R),x∈(t+T)=x(t),?t∈R}，定义范数为‖}.
取X=,Y=CT，则X,Y均为Banach空间.在X上定义线性算子A和L为 A:Y→Y,A(x(t))=x(t)-cx(t-σ),L:Dom(L)?X→YDom(L)={x|x∈X,x″∈C(R,R)}. 再定义非线性算子N:X→Y为 Nx=-f(t,x(t-τ(t)))-g(t,x(t-γ(t)))+e(t) (3)
，
Lx=(Ax)″,
这
里
1 引理
引理1[6] 如果|c|≠1，则A存在唯一有界连续逆，且满足 1)‖A-1x‖≤,?x∈Y；
2)|(A-1f)(t)|dt≤|f(s)|ds,?f∈Y； 3)|(A-1f)(t)|2dt≤|f(s)|2ds,?f∈Y.
由文献[7]可知，方程(2)的解x(t)满足x∈C(R,R)且Ax∈C2(R,R).一般地，x(t)不一定属于C2(R,R)，但是当|c|≠1时，由引理1易见(Ax)′(t)=Ax′(t)，(Ax)″(t)=Ax″(t),所以方程(2)的解x(t)∈C2(R,R).再由引理1，容易得到，Im L={x|x∈Y,x(s)ds=0}，Ker L=R，得到L是指标为零的Fredholm算子. 为了给出结果，分别定义投影算子P,Q为如下形式 P:X→Ker L,Px=Ax(0),Q∶Y→Y/Im L,Qy=y(s)ds.
显然，P,Q为连续算子，Im P=Ker L=R,Ker Q=Im L=Im(I-Q).定义 Lp=L|DomL∩KerP:Dom L∩Ker P→Im L,
则LP的逆:Im L→Dom L∩Ker P为[y](t)=A-1[Fy](t)，这里 [Fy](t)=tsy(s)ds+(t-s)y(s)ds (4)
从(3)式和(4)式可知，N在上是L-紧的，这里是X中任意有界开集.
引理2[8] 设X,Y均为Banach空间，L:D(L)?X→Y是指标为零的Fredholm算子，在上是L-紧的，且为X中的有界开集，又假设下列条件成立: i)Lx≠λNx，?x∈?∩D(L),?λ∈(0,1); ii)Nx?Im L,?x∈?∩Ker L；
一类二阶微分方程周期解的存在性和唯一性
