??c(c?0)，则称?与?是同阶无穷小。特别是， ??如果lim?1则称?与?是等阶无穷小，记作?~?.
?如果lim如果lim如，???，则称?是比?较低阶无穷小量。例??（即lim?0）??x2lim?limx?0,x?0xx?0?x2??(x).
x2122?,?x又?lim与是同阶无穷小量。 2xx?02x222n2?n?3lim例12 求 n. ??3n2?1解 先将分子分母同除以n2，得
2n?n?3?limn??n??3n2?1lim22?2323?2lim(2??2)nn=n??nn?2 1133?2lim(3?2)n??nn4x3?2x2?1例13 求 lim. x??3x4?1解 先将分子分母同除以x4，得
421??4x3?2x2?1xx2x4lim?limx??x??13x4?13?4x421lim(?2?4)x??xxx?0?0?0?0. ?13?0lim(3?4)x??x2x3?1例14 求 lim. x??8x2?7x
133x解 先将分子分母同除以x，得 lim??.
x??87?2xx2?从上面的例题可以得出以下结论：
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?a0?bnn?1a0x?a1x???an?0lim??0x??bxm?bxm?1???b01m????n?mn?m 其中常数 n?m2x2?3??2. 以后做题时可直接利用上述结论，如 limx??2?4x?x2下面的例题是利用“消去零因式”，或先“分子有理化”以后 再“消去零因式”的方法，求“例15 求 lim(x??10”型的极限。 013?3). (“???”型) x?1x?1解 因为当x??1时，原式
f(x)?(13?3)出现“???”型，两项均不存在极限，故不x?1x?1能直接使用极限运算法则。需先通分母：
x2?x?2(x2?x?1)?3?lim原式?xlim 23x??1??1(x?1)(x?x?1)x?1?lim(x?1)(x?2)（消去零因式(x?1)） x??1(x?1)(x2?x?1)?limx?2?3???1. x??1x2?x?13x?20（若将代入,出现无意义分式）。 “”x?4x2?5x?40例16 求 limx?4解 原式 = lim?limx?2
x?4(x?4)(x?1)x?2（消去零因式）
x?4(x?2)(x?2)(x?1)?lim1（在x?4的过程中, x?4(x?2)(x?1)x?2?0, 故可以同除，从而可以消去）
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?11?.
(2?2)(4?1)122x4?3x3例17 求 lim. x?0x3x3(2x?3)解 原式?lim（消去零因子x3）?lim(2x?3)?3. 3x?0x?0x例19 求极限 limx?0解 原式?lim1?x?1?x0. (型) “”x0(1?x?1?x)(1?x?1?x)
x?0x(1?x?1?x)（因有无理式的零因子，所以先分子有理化）
?lim1?x?(1?x) x?0x(1?x?1?x)2x（消去零因子） x?0x(1?x?1?x)2（用极限运算法则） x?0(1?x?1?x)?lim?lim?2?1. 2当x?0?x?1?2例20 已知f(x)??x?3x?1，求
当x?0??x3?1limf(x)，limf(x)，limf(x).
x?0x???x???解 因为x?0是分段点（x?0的左、右两边的函数不同）。在求
limf(x)时，须考虑x?0的左极限和右极限。
x?0x?0?limf(x)?lim?(x?1)??1x?0(x2?3x?1)?1?x2?3x?1xlimlim?f(x)?lim???0???1 33x?0x?0x?1lim?(x?1)1x?0 18
∵ limf(x)?limf(x)??1.故 limf(x)??1.
x?0?x?0?x?0x2?3x?1limf(x)?lim?0.limf(x)?lim(x?1)???. x???x???x???x???x3?17.12 求证：当x?0时, sinsinx~ln(1?x). 证 ∵limsinsinx?0；limln(1?x)?0.
x?0x?0∴当x?0时，sinsinx与ln(1?x)都是无穷小量.又 ∵
sinsinxsinxsinsinx?sinsinxxxsinxlim?lim?lim1x?0ln(1?x)x?0ln(1?x)x?0ln(1?x)xxsinxsinsinxlim?limx?0xx?0sinx?1?1?1?1. ?1lne1limln(1?x)xx?0
∴ 当x?0时，sinsinx~ln(1?x).
在结束本章之前，我们再介绍一些关于等价无穷小量的性质，利用这些性质，可以简化求极限的过程。 性质1 设当x?x0时，?(x)~??(x)，?(x)~??(x)且xlim?xlim存在，则x?x0??(x) ??(x)0?(x)??(x)?lim. ?(x)x?x??(x)0这是因为
limx?x0?(x)?(x)??(x)??(x)?lim??x?x???(x)?(x)?(x)?(x)0?limx?x0?(x)??(x)??(x)?lim?lim??(x)x?x??(x)x?x?(x)00?1?limx?x0??(x)??(x)?1?lim. x?x??(x)??(x)0（即分子，分母可同时用等价无穷小代替）
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性质2 设当x?x0时，?(x)~??(x)，且已知
x?x0lim?(x)??(x)?A，则lim??(x)??(x)?A.
x?x0这是因为
lim??(x)??(x)?limx?x0x?x0??(x)??(x)??(x)?(x)
?limx?x0??(x)?lim?(x)??(x)?1?lim?(x)??(x)?lim?(x)??(x).
x?xx?x?(x)x?x000（即乘积中的无穷小量因子可以用等价无穷小代替）。
1?cosx20例7.13 求 lim（。 \\型，极限运算法则不能用）x?01?cosx0解（我们已求过极限
xxxsinsin1?cosx2?lim2?2?1?1?1. ∴ 当x?0时，lim?limx?0x?0x?0xxxx22?()222222sin2x21?cosx~）
2x2∵ 当x?0时, 1?cosx~，∴
2x2x22sin2sin1?cosx222lim?lim?lim2x?01?cosxx?01?cosxx?0 x2?2?1?2.2(a?x)x?ax例7.14 求 lim . x?0x2解 为计算本题，先回忆两个结论： （1） 当x?0, 时 ln(1?x)~x .
ax?1ex?1(2)?lim?lna.从而lim?lne?1.故有：当x?0时，
x?0x?0xx
20
变量的极限
