例2 证明 limcosx?1.
x?0证 当x在0附近，即当|x|??22时, 由半角公式知
x2xx22x?0，利用两边 0?1?cosx?2sin?2()?.而lim0?0;limx?02x?0222夹定理可知 lim(1?cosx)?0 , 即 limcosx?1.
x?0x?0两边夹定理类似数列极限
lim[（复习1） 求n??111????]. n2(n?1)2(2n)2解 ∵
limn?1111n?1??????.而 22222(2n)n(n?1)(2n)nn?1n?1n?11?lim?0；lim?lim?0.由两边夹定理可知 n??(2n)2n??4n2n??n2n??nlim[111????]?0 222n(n?1)(2n)n1nnn??(1?2?3). （复习2） 求 limn??解 ∵ (3)?(1?2?3)?(3?3)?3?3，而
n1nn1nn1nn1nn??lim(3)?lim3?3;且lim3?3?3lim3?3?1?3.故知
n??n??n??1nn1n1n(1?2?3)?3.容易证明：lim(1?2?3?...?K)?k; limn??n??nnn1nn1nn若a?0,b?0,c?0?lim(a?b?c)?max{a,b,c}
nnn??1nn2x（练习题：若x?0,求limn1?x?()n.提示：
n??2n将?0,???分成四个区间x?[0,1),[1,2),[2,2),[2,??)来讨论） （复习3） 给定?1?0,??0,令?n?1?(?n?并求其值。
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12?), 证明lim?n存在，
n???n证 ?n?1?(?n?12?1)??2????.有下界 ?n2?n?11?1??(1?2)?(1?)?1（用上结果）?单调下降 ?n2?n2?故有极限。 将?n?1?(?n?12?)两边取极限，可得lim?n??.
n???n二. 两个重要极限 重要极限一: lim证 因为
sinx?1 （x的单位为弧度）. x?0xsin(?x)sinx??，所以只考虑0?x? (?x)x2即可。为此,作一个半径为1的单位圆，比较三角形OPR，扇形
OQR和三角形OQS三者的面积，显然有
111cosx?sinx?x?1??1?tanx 222111sinx即cosx?sinx?x?， 222cosx2遍乘以正数，得 图2.14
sinxx1 cosx?，因为两边极限 ?sinxcosx1limcosx?lim?1.故由两边夹定理知 x?0x?0cosxxlim?1，其倒数极限亦等于1， 即 x?0sinxsinxlim?1(注意，此结论是在弧度制下)。 x?0x下面介绍第二个重要极限。
重要极限二：已知n lim(1?)n?e.要证lim(1?)x?e.（\1?\型）??x??(1?)x?e.当x?1,??x??x??x??1,? 证 先证xlim???1?
1n1x1x1111?x?11?1??1??(1?)?(1?)x?(1?)?x??1
?x??x??x?1??x?x1??x?7
而 lim(1?x???1?x?)?limx???1??x?(1?1?x??1)1??x??e. 11?1??x?x???lim(1?1?x??111)?lim(1?)?x??(1?)?e?1?e.
x????x??x??x?由两边夹准则，有 lim(1?)x?e. x??? 只需作变换u??(x?1),?x??(1?u),当x???时,u???,便可 证出lim(1?)x?lim(1?)u?(1?)?e.?lim(1?)x?e.
x???u???x??若令 ??，则有如下重要极限
11x1x1u1u1x1xlim(1??)??e. ??0利用复合函是极限性质，
若在x0的空心邻域?(x)?0,lim?(x)?0,则有
x?x(1)sin?(x)lim?1;(2)x?x0?(x)01x?x0lim[1??(x)]?(x)?e.
tanx.
x?0xtanxsinx1sinx1解 lim?lim??lim?lim?1?1?1. x?0x?0x?0x?0xxcosxxcosx1?cosx例9 求lim.
x?0x2x解 利用倍角公式cosx?1?2sin2,可知
2xxx2sin2sinsin1?cosx2?lim1(2)2?1(lim2)2?1lim?limx?0x?0x?02x2x?0x2x2x222例8 求 lim（即1?cosx~12x,当x?0）. 2sin(sinx). xsin(sinx)sin(sinx)sinxsin(sinx)sinx解lim?lim??lim?lim?1?1?1 . x?0x?0x?0x?0xsinxxsinxx例10 求 limx?0 8
例11 求 lim11?cosx.（可用1?cosx~x2） x?0x?sinx2x2解 原式?lim
x?0xxx2??2sincos222xxsinsin2?lim2?lim1?1?1?1?1. ?limx?0xx?0xx?0x222sincos222t*例12 求 liman?sinn（a?0,t为常数）.
n??at0t解 若t?0, sinn?0,?an?sinn?0,故liman?sinn?0.
n??aaa2sin2若t?0，分三种情况讨论：
liman?0,an是无穷小量, 当|a|?1时有n??而|sinttn为有界变量，故|?1lima?sin?0. n??anann??当|a|?1时，原式?limsint?sint.
lim|an|???，因此，启发我们将原式作如 当|a|?1时，n??下变形 limt?sinn??ttsinan?tliman?t.
n??ttanan综合以上讨论，有如下结论：
|a|?1?0,t?liman?sinn??sint,|a|?1 n??a?t,|a|?1?作业 p.72 1，2班：27(1,4),28(1,4,7,10,13) 3 班：27(2,5),28(2,5,8,11,14)
4 班：27(3,5),28(3,6,9,12,15)
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例13 求 limx??sinx. x21?()??2?sin(??x)?2?sinx?lim解 原式?lim x??(??x)(??x)x???2?x2?2?sin(??x)?2?lim??1?. limx????xx??2?2??x例14 求 limcosx?cos3x.
x?0x?sinx解法一 ?当x?0时, 1?cosx~x2,?1?cos3x~(3x)2.
1122(1?cos3x)?(1?cosx)又 sinx~x ∴ 原式?lim（注意）
x?0x?sinx1?cos3x1?cosx ?lim?limx?0x?sinxx?0x?sinx121x(3x)29122???4 ?lim?limx?0x?0x?x22x?x解法二 利用三角函数的和差化积公式
2sin2x2sin2x?sinx原式?lim.?4?1?4 ?4limx?0x?0x?sinx2x1例15 求 limx?sin.
x?0x1sin11解 错误的做法是：limx?sin?limx?1（?不趋近于0）
x?0xxx?01x11正确的做法是：即sin是有界变量（当x?0?limx?0,|sin|?1，
x?0xx(cos??cos???2sin???2?sin???)
时）。
A0(1?)mt.其中r?0,t,A0皆为常数。 例16 求 mlim???rm解 令n?m, 当m???，则n???，所以 rr11limA0(1?)mt?limA0(1?)nrt?A0lim[(1?)n]rt ?A0ert. m???n???n???mnn 10
变量的极限
