§2.3 变量的极限
为了以后的方便，我们把数列f?n?，函数f?x?统称为“变量y”，而把n??,x??,x?x0统称为“极限过程”，而把在某一极限过程变量y有极限A，统一记作limy?A.
定义 变量y在某一极限过程中，如果存在某一正数M，使变量y在某一时刻之后，恒有|y|?M，则称y在那个时刻之后为有界变量。（是在某一极限过程意义下）
定理3.1 如果在某一极限过程中，变量y有极限，则变量一定是（局部）有界变量。 证 设limy?A，依定义，对任意给定的??0，都存在一个时刻，使得在那个时刻以后，恒有y?A??. 现在对确定的??1，当然有相应的时刻，自此时刻以后，恒有y?A?1(??1).
因为|y|?|(y?A)?A|?y?A?|A|?1?A，所以，如果取定义中的M?1?A，则在此时刻以后，恒有y?M.因此，变量y在那个时刻以后是有界变量。注意：此定理的逆成立吗？即有界变量必有极限吗？答案是否定的，即：有界变量未必有极限。例
111如y?sin，当x?0时，由于|sin|?1,(x?0)，因此sin 是有
xxx1界变量，但极限limsin不存在。
x?0x
图2.12
变量极限的性质：惟一性；局部性;保序性；保号性； 四则运算；复合函数的极限。 四则运算：
定理 假定在同一极限过程x?x0时，极限limf(x) 与 limg(x)
x?xx?x00都存在，则有
1．lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)
x?xx?xx?x000 1
2．lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)
x?xx?xx?x000f(x)f(x)xlim?x0?3，若limg(x)?0，则 xlim. ?x0g(x)x?x0limg(x)x?x0推论1 两个无穷小量(极限为零的变量)的代数和仍是无穷小
量。
推论2 两个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 推论3 limcf(x)?climf(x)，c 为常数。
x?x0x?x0(从此可推出:一个有界变量与一个无穷小的积是一个无穷小。）
?f(x)?M??M?f(x)?M,limg(x)?0?limf(x)g(x)?0.(两
x?x0x?x0边夹)
n推论4 若n为正整数，则xlim. xn?(limx)n?x0?xx?x00如xlimx4?(?2)4?16，以后还可以证明：对正整数n，??2limx?(limx)?x. 如 limx?9?9?3.
x?x01n1n1n01212x?x0x?9例 当|a|?1时，求liman?sinn??x. anliman?0.即当n???时，an是一个无穷小量。而解 ?|a|?1,?n??|sinxxxn，即是一个有界变量，故有 |?1sinlima?sin?0. nnnn??aaa复合函数的极限 定理: 设（中间变量）u??(x),y?f(u)分别在x?x0及u?u0的邻域内（去掉x0及u0）有定义，若
?(x)?u0 且当x?x0的心邻域时?(x)?u0; （1）xlim?x0f(u)?A, （2）ulim?u0f(?(x))?A. 则复合函数f(?(x))在x0处有极限A，即xlim?x0 2
（要证limf(?(x))?A ，只需证：???0，???0，使当
x?x00?x?x0??时，恒有f??(x)??A??. ）
证 ?limf(u)?A,????0，???0,使当0?u?u0??时，恒有
u?u0f(u)?A??.
又?lim?(x)?u0????0,???0,使当0?x?x0??时，恒有x?x0?0?u?u0??.从而 ?(x)?u0?u?u0??. (?x?x0时?(x)?u0）f(?(x))?A=f(u)?A?? ，即limf(?(x))?A.（证毕）
x?x0x3?x2?x?10.\\型,消零因子(x?1) 例1.2.28(p.53) 求lim3x?1x?3x?20（“无穷小变量”概念）
u(x)?A,A?0,limv(x)?B?lim[u(x)]v(x)?AB. 例1.2.29xlim?xx?xx?x000证 设 y?[u(x)]v(x)?ev(x)lnu(x).?xlim[u(x)]v(x)?limev(x)lnu(x) ?xx?x00 ?ex?x0limv(x)lnu(x)?eB?lnA?AB.利用例1.2.26(p.52),1.2.23(2)(p.47).
1?2x?31?3x02.\\x.） 例1.2.30求 lim型（设法消零因子2x?00x例1.2.31求 limx?0n1?x?10(n?N,n?1).\\型
0x解 令 n1?x?1?u,?x?(1?u)n?1.
n?limx?01?x?1u1?lim?...?.消零因子u. u?0(1?u)n?1nxm1??x?n1??x?1??0?...??.\\型（用上例） 例1.2.32 求 limx?0xnm03（x3?6x2?x2?4x).\???\型 (分子有理化) 例1.2.33 求 xlim???33lim（x3?6x2?x2?4x)?lim[（x3?6x2?x)?(x?x2?4x)]
x???x??? 3
(分子有理化)+分子分母同除以x2,x????4.
x2?1(?ax?b)?0，求a,b的值。P.73.Ex.30. 例 若xlim??x?16342解 第一、二项的极限都不存在，故不能用极限运算法则，但
x2?1(1?a)x2?(a?b)x?(1?b)?ax?b?. x?1x?1此为多项式之比，其极限为0，可知应有x2的系数(1?a)等于0，x的系数(a?b)亦等于0，即 1?a?0,a?b?0，解出 a?1,b??1.
(ax2?bx?c?kx?m)?0，(a?0)试求k,m的值，并计算例 若xlim???x?(ax2?bx?c?kx?m) 的值。 极限 xlim???(ax2?bx?c?kx?m)（因极限?0,?k?0)\???\型 解 xlim????lim(a?k2)x2?(b?2km)x?(c?m2)ax?bx?c?kx?m2x????0.
?a?k2?0bb?要使上式成立，必须 ?b?2km?0，解之得 k?a,m??.
2k2a?k?0?在上述条件下
x?(ax?bx?c?kx?m)?lim xlim???2(c?m2)xax?bx?c?kx?m2x???
?limx???c?m2（同除以x）
bcma??2?k?xxx2bc?2c?m4ac?b24a???. 3a?k2a8a2 两个重要极限 本节主要介绍如下两个重要极限 ：
1sinxlim?1; lim(1?)x?e (lim(1?x)x?e). x?0x?0x??xx
4
1并介绍极限存在的两个准则。 一. 极限存在的准则
定理1（两边夹定理）若存在正数?，使得当0?|x?x0|??时，有关系g(x)?f(x)?h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则必有
x?xx?x00x?x0limf(x)?A.（书. P.55）
定理2（单调有界定理） （1）单调有界数列必有极限；
（2）若f(x)在x0的某一侧邻域内单调有界，则当x?x0时，f(x)在此侧的单侧极限必存在。 定理3(Heine定理)：
x?x0limf(x)?A?对任何含于U(x0,a)且收敛于x0的数列?xn?,都有limf(xn)?A.其中a?0.n??0
定理4（Cauchy准则）：
x?x0limf(x)?A????0,???0,当0?x??x0??,且0?x???x0??f(x?)?f(x??)??.时,有
例1 证明 limsinx?0.
x?0证 当x在0附近，即当|x|?x?0x?0?2时，有关系0?|sinx|?|x|，而
x?0lim0?0;lim|x|?0,由两边夹定理可知，lim|sinx|?0, 从而
limsinx?0.
x?0
图2.13
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变量的极限
