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?????x0??0,?，使得g??x0??0
?2?????当x???1,x0?时，g??x??0；x??x0,?时，g??x??0
2??即g?x?在??1,x0?上单调递增；在?x0,则x?x0为g?x?唯一的极大值点
?????上单调递减 2????即：f??x?在区间??1,?上存在唯一的极大值点x0.
?2?（2）由（1）知：f??x??cosx?1，x???1,??? x?1①当x???1,0?时，由（1）可知f??x?在??1,0?上单调递增
?f??x??f??0??0 ?f?x?在??1,0?上单调递减
又f?0??0
?x?0为f?x?在??1,0?上的唯一零点
②当x??0,????2??时，f??x?在(0,x0)上单调递增，在?x0,?????上单调递减 2?又f??0??0 ?f??x0??0
?f?x?在(0,x0)上单调递增，此时f?x??f?0??0，不存在零点
又f???22????cos????0 ?22??2??2???????x1??x0,?，使得f??x1??0
2??????f?x?在?x0,x1?上单调递增，在?x1,?上单调递减
?2??2e??????f?sin?ln1??ln?ln1?0 又f?x0??f?0??0，????2??2?2??2? eord完美格式
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????f?x??0在?x0,?上恒成立，此时不存在零点
2??③当x?????,??时，sinx单调递减，?ln?x?1?单调递减 2??????f?x?在?,??上单调递减
?2?又f??????0，f????sin??ln???1???ln???1??0 2??即f????f???????,??上单调递减 ?0fx，又在????22????????f?x?在?,??上存在唯一零点
?2?④当x???,???时，sinx??1,1，ln???x?1??ln???1??lne?1
?sinx?ln?x?1??0
即f?x?在
??,???上不存在零点
综上所述：f?x?有且仅有2个零点 【点睛】
本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4?【解析】 【分析】
（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得
1. 257pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?，从而整理出
符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合
p8和p0的值可求得p1；再次利用累加法可求出p4.
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【详解】
（1）由题意可知X所有可能的取值为：?1，0，1
?P?X??1???1????；P?X?0??????1????1???；P?X?1????1???
则X的分布列如下：
X ?1 0 1 P ?1???? ????1????1??? ??1???
（2）Q??0.5，??0.8
?a?0.5?0.8?0.4，b?0.5?0.8?0.5?0.2?0.5，c?0.5?0.2?0.1
（i）Q即
pi?api?1?bpi?cpi?1?i?1,2,???,7?
pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?
?4pi?1?pi?1?i?1,2,???,7? ?pi?1?pi?4?pi?pi?1??i?1,2,???,7?
整理可得：5pi??pi?1?pi??i?0,1,2,???,7?是以p1?p0为首项，4为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
pi?1?pi??p1?p0??4i?p1?4i
?p8?p7?p1?47，p7?p6?p1?46，……，p1?p0?p1?40
1?4848?1作和可得：p8?p0?p1?4?4?????4?p1?p1?1
1?43?017??p1?3 48?11?4444?1311 ?p4?p4?p0?p1?4?4?4?4?p1??8?4?1?434?14?1257?0123?p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为
0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?说明这种实验方案合理. 【点睛】
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1?0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，257. .
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
y222．（1）C:x?（2）7 ?1,x?(?1,1]；l:2x?3y?11?0；
42【解析】 【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】
216t21?x1?t2t??0,x?(?1,1]，又y?2 （1）由x?得：221?t1?x1?t??21?x1?x?4?1?x??1?x??4?4x2?y2?2
?1?x??1???1?x?16?y2整理可得C的直角坐标方程为：x??1,x?(?1,1]
42又x??cos?，y??sin?
?l的直角坐标方程为：2x?3y?11?0
（2）设C上点的坐标为：?cos?,2sin??
???4sin???11??2cos??23sin??11则C上的点到直线l的距离 6??d??77当sin??????????1时，d取最小值 6?则dmin?7 【点睛】
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本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用abc=1将所证不等式可变为证明：a2?b2?c2?bc?ac?ab，利用基本不等式可证得2a?b?c33?222（2）利用基本不等式可得??2ab?2bc?2ac，从而得到结论；
3?a?b???b?c???c?a?33再次利用基本不等式可将式转化为?3?a?b??b?c??c?a?，
?a?b???b?c???c?a?【详解】
（1）Qabc?1 ?3?24?abc?2，在取等条件一致的情况下，可得结论.
111?111?????????abc?bc?ac?ab abc?abc?Q2a2?b2?c2?a2?b2?b2?c2?c2?a2?2ab?2bc?2ac
当且仅当a?b?c时取等号
??????????111?111??2a2?b2?c2?2????，即：a2?b2?c2≥??
abc?abc?（2）Q?a?b???b?c???c?a??3?a?b??b?c??c?a?，当且仅当a?b?c时取等号
又a?b?2ab，b?c?2bc，a?c?2ac（当且仅当a?b?c时等号同时成立）
333??a?b???b?c???c?a??3?2ab?2bc?2ac?24又abc=1 ??a?b???b?c???c?a??24 【点睛】
333333?abc?2 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
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（word完整版）2019年高考全国1卷理科数学试题和答案
