数学归纳法
课时作业
1．用数学归纳法证明：
111n*
＋＋…＋＝(n∈N)． 1×33×5(2n－1)(2n＋1)2n＋111证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，
1×33右边＝
11
＝，左边＝右边，
2×1＋13
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N)时等式成立，即有 111k＋＋…＋＝， 1×33×5(2k－1)(2k＋1)2k＋1则当n＝k＋1时，
1111
＋＋…＋＋ 1×33×5(2k－1)(2k＋1)(2k＋1)(2k＋3)＝
*
k1k(2k＋3)＋1
＋＝ 2k＋1(2k＋1)(2k＋3)(2k＋1)(2k＋3)
2
2k＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝， (2k＋1)(2k＋3)2k＋32(k＋1)＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N等式都成立． 2．求证：
1115*
＋＋…＋>(n≥2，n∈N)． n＋1n＋23n6
*
11115
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
34566(2)假设n＝k(k≥2，k∈N)时命题成立，即 1115＋＋…＋>. k＋1k＋23k6当n＝k＋1时，
111111
＋＋…＋＋＋＋ (k＋1)＋1(k＋1)＋23k3k＋13k＋23(k＋1)＝
111?111?1
＋＋－＋＋…＋＋??
k＋1k＋23k?3k＋13k＋23k＋3k＋1?
*
111?5?1
＋＋－>＋??
6?3k＋13k＋23k＋3k＋1?11?55?
－>＋?3×?＝. 6?3k＋3k＋1?6
∴当n＝k＋1时不等式也成立． ∴原不等式对一切n≥2，n∈N均成立． 3．试证：当n∈N时，f(n)＝3
*
2n＋2*
－8n－9能被64整除．
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N，k≥1)时，f(k)＝3当n＝k＋1时，由于3＝9(3＝9(3
2k＋2
2(k＋1)＋2*
2k＋2
－8k－9能被64整除．
－8(k＋1)－9
－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9 －8k－9)＋64(k＋1)，
2k＋2
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)， 所以n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可知，
对于任意n∈N，命题都成立．
4．设集合M＝{1,2,3，…，n}(n≥3，n∈N)，记M的含有三个元素的子集的个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为
*
*
Tn.
(1)求，，，的值； (2)猜想的表达式，并证明．
T3T4T5T6S3S4S5S6
TnSnT3T45T5T67
解 (1)＝2，＝，＝3，＝. S3S42S5S62
(2)猜想＝Tnn＋1*
(n≥3，n∈N)．
Sn2
下面用数归纳法证明．
①当n＝3时，由(1)知猜想成立；
②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，猜想成立， 即＝*
Tkk＋1k＋133
，而Sk＝Ck，所以Tk＝·Ck.
Sk22
3
则当n＝k＋1时，易知Sk＋1＝Ck＋1，
而当集合M从{1,2,3，…，k}变为{1,2,3，…，k，k＋1}时，Tk＋1在Tk的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k－1)个k.
所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1) ＝＝
k＋1
22
·Ck＋2(C2＋C3＋C4＋…＋Ck) ·Ck＋2(C3＋C3＋C4＋…＋Ck)
3
3
2
2
2
32222
k＋1
＝＝＝故
k－2
22
·Ck＋1＋2Ck＋1 ·Ck＋1
3
33
k＋2
(k＋1)＋1
·Sk＋1， 2
Tk＋1(k＋1)＋1
＝. Sk＋12
所以当n＝k＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立，即＝
Tnn＋1*
(n≥3，n∈N)．
Sn2
2024高考数学一轮复习第12章算法初步、复数、推理与证明第5讲数学归纳法课时作业(含解析)新人教版B版
