习题六
6-1 材料的抗剪切强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下： 张应力x/Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 抗切强度y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9 假设正应力的数值是精确的，求①剪切强度与正应力之间的线性回归方程，并作方差分析与显著性检验（作方差分析表）；②当正应力为24.5Pa时，剪切强度的估计值是多少？
解：① 由散点图可知，剪切强度与正应力之间的关系近似满足线性。设线性回归方程为：
??b0?bx y各参数的计算如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑ x/Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 311.6 y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9 297.2 x2/Pa2 718.24 645.16 835.21 556.96 767.29 571.21 610.09 789.61 723.61 750.76 510.76 655.36 8134.26 y2/Pa2 702.25 745.29 585.64 734.41 556.96 670.81 691.69 506.25 470.89 457.96 665.64 620.01 7407.8 x y /Pa2 710.2 693.42 699.38 639.56 653.72 619.01 649.61 632.25 583.73 586.36 583.08 637.44 7687.76 112112x??xi?25.97Pa；y??yi?24.77Pa
12i?112i?11?N?1lxx??x???xi??8134.26??311.62?43.05(Pa)2
N?i?1?12i?12iN21?N?12lyy??yi???yi??7407.80??297.22?47.15(Pa)2
N?i?1?12i?1N21?N??N?1lxy??xiyi???xi???yi??7687.76??311.6?297.2??29.53(Pa)2
N?i?1??i?1?12i?1b?lxylxx??29.53??0.686
43.05Nb0?y?bx?24.77?(?0.686)?25.97?42.585Pa
所以，剪切强度与正应力之间的线性回归方程为：
??b0?bx?42.585?0.686x y方差分析如下：
总的离差平方和为： S?lyy?47.15(Pa)2
回归平方和及其自由度为： U?blxy??0.686?(?29.53)?20.26(Pa)2，?U?1 残余平方和及其自由度为： Q?S?U?47.15?20.26?26.89(Pa)2，?Q?N?2?10 方差为??统计量F?2Q26.89??2.689(Pa)2 N?210U/?U20.26??7.53
Q/?Q26.89/10查F分布表可知，F0.05(1,10)?F?F0.01(1,10) 所以，回归在??0.05水平上显著。 根据以上技术结果，作方差分析表如下：
来源 回归 残余 总计 平方和 20.26 26.89 47.15 自由度 1 10 11 方差 - 2.689 - F 7.53 - - 显著性 ?=0.05 - - ② 当正应力为24.5Pa时，剪切强度的估计值为：
??42.585?0.686?24.5?25.78Pa y
6-3 某含锡合金的熔点温度与含锡量有关，实验获得如下数据： 含锡量wsn(%) 20.3 熔点温度/oC 416 28.1 386 35.5 368 42.0 337 50.7 305 58.6 282 65.9 258 74.9 224 80.3 201 86.4 183 设含锡量的数据无误差，求：①熔点温度与含锡量之间的关系，并作方差分析与显著性检验（作方差分析表）；②预测含锡量为60%时，合金的熔点温度（置信概率95%）；③如果要求熔点温度在310~325 oC之间，合金的含锡量应控制在什么范围内（置信概率95%）。
解：① 设含锡量为x，熔点温度为y，根据散点图可知，两者近似满足线性，设其线性回归
??b0?bx 方程为： y各参数的计算如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ x/% 20.3 28.1 35.5 42 50.7 58.6 65.9 74.9 80.3 86.4 542.7 y/ oC 416 386 368 337 305 282 258 224 201 183 2960 x2/(%)2 412.09 789.61 1260.25 1764 2570.49 3433.96 4342.81 5610.01 6448.09 7464.96 34096.27 y2(oC)2 173056 148996 135424 113569 93025 79524 66564 50176 40401 33489 934224 x y /(%)(oC) 8444.8 10846.6 13064 14154 15463.5 16525.2 17002.2 16777.6 16140.3 15811.2 144229.4 110110x??xi?54.27%；y??yi?296.0?C
10i?110i?11?N?12lxx??xi???xi??34096.27??542.72?4643.94(%)2
N?i?1?10i?11?N?12lyy??yi???yi??934224??29602?58064(?C)2
N?i?1?10i?1N2N21?N??N?1lxy??xiyi???xi???yi??144229.4??542.7?2960??16409.8(%)(?C)
N?i?1??i?1?10i?1b?lxylxx??16409.8??3.53
4643.94Nb0?y?bx?296.0?(?3.53)?54.27?487.57
所以，熔点温度与含锡量之间的关系为：
??b0?bx?487.57?3.53x y方差分析如下：
总的离差平方和为： S?lyy?5806 4回归平方和及其自由度为： U?blxy??3.53?(?16409.8)?57926.6，?U?1
.59?137.4，?Q?N?2?8 残余平方和及其自由度为： Q?S?U?58064?57926方差为??统计量F?2Q137.4??17.18(Pa)2 N?28U/?U57926.6??3372.7
Q/?Q137.4/8查F分布表可知，F?F0.01(1,10)
所以，回归在??0.01水平上显著。
根据以上技术结果，作方差分析表如下： 来源 回归 残余 总计 平方和 57926.6 137.4 58064 自由度 1 8 9 方差 - 17.18 - F 3372.7 - - 显著性 ?=0.01 - - ② 当含锡量为60%时，合金的熔点温度为： ??487.57?3.53?60?275.77?C y③ 当熔点温度在310 oC时，含锡量控制为 x1?487.57?310?50.3%
3.53487.57?325?46.1% 当熔点温度在325 oC时，含锡量控制为 x2?3.53所以，如果要求熔点温度在310~325 oC之间，合金的含锡量应控制在46.1%~50.3%范围内。
习题六
