1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=（1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
，AB=4．
【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出
的坐标，由
与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直
线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则
，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=
，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，
），C（2，
4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，
，
设平面PBD的一个法向量为则由
，得
，取z=
．
），
， ，得． ．
．
取平面PAD的一个法向量为∴cos＜
＞=
=
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解：
，平面BDP的一个法向量为
．
＞
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜|=|
|=|
|=
．
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．
2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
，求线
段AH的长．
【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；
（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出所成角的余弦值为
列式求得线段AH的长．
的坐标，结合直线NH与直线BE
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD，
∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2）， 则
，
，
空间向量和立体几何练习题及答案 教师版
