2017年全国高中数学联合竞赛江门选拔赛试卷
（考试时间：2016年12月21日下午）
题号 得分 评卷人 一 9 二 10 11 合计 注意事项：1.本试卷共二大题，全卷满分120分. 2.用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超过装订线. 3.不能使用计算器. 得分 评卷人 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
把答案填在横线上.
1．定义集合运算: ?????={??|??=xy，x∈A，y∈B}．设??={2，0}，??={0，8}，则
集合?????的所有元素之和为 ．
2．已知??(?2，0)，??(0，2)，??、??是圆??2+??2+????=0(??是常数)上两个不同的点，
??是圆上的动点，如果??、??两点关于直线??????1=0对称，则???????面积的最大值是 ．
3．正四面体????????的棱长为8 ????，在棱????、????上各有一点??、??，若????=????=3????，
则线段????的长为 ????．
??相互垂直，??|=1，??与????4．设平面内的两个非零向量???与??且|??则使得向量???+?????+(1???)??
互相垂直的所有实数m之和为 ．
5．若关于??的方程??2?????+1???=0在区间[2，+∞)上有解，则a的取值范围是 ． 6．平面直角坐标系??????中，点集M??(x,y)?面图形的面积为 ． 7．已知数列?an?的通项公式为an??x?sin??cos?,??,??R?所覆盖的平
?y?cos??sin?,?1(n?1)n?nn?1（n?N?），其前n项和为Sn，
则在数列S1，S2，… ，S2016中，有理数项共有 项． 8．当x，y，z为正数时，
4xz?yz的最大值为 ．
x2?y2?z2二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 9．(本小题满分16分)
（1）若??????2??+2??????2??=2????????，求2??????2??+??????2??的最大值和最小值；
1
??????2????????2??
1
（2）已知不等边?ABC的内角A、B、C成公差为?的等差数列，且
1??????2??
，，
也成等差数列，求cos?的值．
得分 评卷人
10．(本小题满分20分)
已知三棱锥P?ABC，PA?平面ABC，AB=BC?CA?23，PA?1，且D、E分别为BC、CA的中点．
（1）求点A到平面PDE的距离；
（2）若点Q在线段PE上移动，求?QAD面积的最小值．
得分 评卷人
11．(本小题满分20分)
28(a?1)2a(a?1)2?2x?log2?log2?0恒（1）已知对?x?R，不等式x?log22aa?14a成立，求实数a的取值范围；
（2）已知数列{an}满足a1?1,a2?2，an?2?(1?cos2且bn?
a2n?1，Sn?b1?b2?a2nn?n?)an?sin2(n?N*)，221?bn(n?N*)，证明：当n?6时，|Sn?2|?．
n评分参考
一、填空题 题号 答案 二、解答题
229．（1）sin??2sin??2cos?，?sin2??cos??sin2?① ……………1分
1 16 2 3+√2 3 √34 4 1 55 [3，+∞） 6 4?? 7 43 8 √17 212333?2sin2??sin2??sin2??cos???cos2??cos??……………3分
22233设cos??t，则2sin2??sin2???t2?t?.
22333151记f(t)??t2?t???(t?)2?，图像的对称轴为t?，………4分
2223331111由①可得sin2?=cos2??cos???t2?t?，
222211?0?t2?t??1，?2?1?t?1，……………………………………6分
22?当t?2?1时，f(t)max?f(2?1)?42?4， 当t?1时，f(t)min?f(1)?1，?2sin2??sin2?的最大值为42?4，最小值为1。 ………………………8分
（2）
A?B?C??,A?C?2B，?B?60，……………………………9分
由已知
112……………………………………………10分 ??sin2Asin2Csin2B?114??， 而A?60??,C?60??，
sin2Asin2C3114??，…………………………………11分
sin(120?2?)sin(120?2?)3??131cos2??sin2?22?131cos2??sin2?22?4， 3
2016江门数学竞赛试卷与评分参考
