备考2024中考数学高频考点剖析
专题二十二 平面几何之相似和位似问题
考点扫描☆聚焦中考 相似和位似问题，是每年中考的重点考试内容之一，考查的知识点包括相似三角形的性质与判定、位似和相似三角形与其它几何图形的综合应用三方面，总体来看，难度系数偏高，少量题以选择填空为主，大都是综合性的解析题。解析题主要以证明计算为主。结合2024年全国各地中考的实例，我们从三方面进行相似与位似问题探讨：
（1）相似三角形的性质与判定； （2）位似及其作图；
（3）相似三角形与其它图形的综合应用．
考点剖析☆典型例题 例1（2024?江西?6分）如图，在交
于点,求
的长.
A中，=8，=4,=6,,是的平分线，
DEBC
【解析】 ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD ∵CD∥AB ∴∠ABD=∠D ∴∠CBD=∠D ∴CD=BC=4 又∵CD∥AB ∴△ABE∽△CDE ∴
=
∵CE+AE=AC=6 ∴AE=4
中， 分别交
，
，
平分
交 交
于点 于点
例2（2024?四川成都?8分）如图，在 ， 为 .
上一点，经过点， 的
于点 ， ，连接
（1）求证： （2）设
是 ，
的切线； ，试用含
的代数式表示线段
的长；
2
（3）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）如图，链接CD
∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD. ∴OD∥AC. 又∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC是⊙O的切线. （2）连接DF，
由（1）可知，BC为切线， ∴∠FDC=∠DAF. ∴∠CDA=∠CFD. ∴∠AFD=∠ADB. 又∵∠BAD=∠DAF， ∴?ABD∽?ADF, ∴
,
∴AD2
=AB·AF. ∴AD2
=xy, ∴AD=
（3）连接EF
2
在Rt?BOD中，sinB= 设圆的半径为r，∴ ∴r=5. ∴AE=10,AB=18.
∵AE是直径，∠AFE=90°,而∠C=90°， ∴EF∥BC, ∴∠AEF=∠B, ∴sin∠AEF=
.
=
. , ，
∴AF=AE·sin∠AEF=10× ∵AF∥OD, ∴ ∴DG= ∴AD= ∴DG=
AD.
,
,
【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠ODC=90°即可。(2)连接DF，DE，根据圆的切线，可证得∠FDC=∠DAF，再证∠CDA=∠CFD=∠AED，根据平角的定义可证得∠AFD=∠ADB，从而可证得△ABD∽△ABF，得出对应边成比例，可得出答案。（3）连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB的长，再证明EF∥BC，得出∠B=∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长。
例3（2024·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F． （1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC； （2）如图2，①求证：BP=BF；
②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值； ③当BP=9时，求BE?EF的值．
2
2024中考数学高频考点剖析专题22 平面几何之相似和位似问题—解析卷
