余弦函数的图像与性质
【教学目标】
1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像. 2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.
3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义. 4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间. 【知识梳理】
问题1:余弦函数的图像的作法 (1)平移法:
余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向 平移 个单位长度得到(如图).
(2)五点法:
余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为 . 问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间
(1)定义域为 ;(2)值域为 ;(3)单调增区间为 ,减区间为 . 问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心 (1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为 (4)对称中心为 .
问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间 (1)当ωx+φ=+kπ时,即 为对称中心; (2)当ωx+φ=kπ时,即 为对称轴;
(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为 区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为 区间.(注:以上k∈Z) 【典型例题】
要点一余弦函数的图像及应用
例1画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：
1
(1)y≥时x的集合；
213(2)－≤y≤时x的集合．
22解：用“五点法”作出y＝cos x的简图
1π1π1
0，?点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于?－，?，?，?点，在[－(1)过??2??32??32?ππ?1?
π，π]区间内，y≥时，x的集合为?x|－3≤x≤3?.
2??1
当x∈R时，若y≥，
2
ππ??－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z? 则x的集合为?x?3??3?
1?3??－2π＋2kπ，－1?，0，－?，(2)过?点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于0，2??2???32?2π1π3π3
＋2kπ，－?，k∈Z点和?－＋2kπ，?，k∈Z，?＋2kπ，?)，k∈Z点，那么曲线上夹在对k∈Z，?2??32?2??6?613应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：
22ππ2π??2π?
?x－＋2kπ≤x≤－＋2kπ或＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z?.
663??3?
规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性． 跟踪演练1 求函数f(x)＝lg cos x＋25－x2的定义域． 解 由题意，x满足不等式组?结合图像可得：
3ππ3
－5，－π?∪?－，?∪?π，5?. x∈?2??22??2??要点二：余弦函数单调性的应用 例2求函数y＝log (cos 2x)的增区间．
解：由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减． π
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.
2π
∴kπ 4 π1 kπ，kπ＋?，k∈Z. ∴y＝log (cos 2x)的增区间为?4??2 ?cos x>0? ?－5≤x≤5? ?，即，作出y＝cos x的图像． ?25－x2≥0?cos x>0?? 规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2：比较下列各组数的大小． 2317－π?与cos?－π?. (1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos??5??4?解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°， cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°， ∴cos 139° －π?＝cosπ＝cos?4π＋π?＝cosπ， (2)cos?5??5??5517π17π－π?＝cosπ＝cos?4π＋?＝cos. cos?4??4??44π3 ∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上递减， 4523173π －π? (1)y＝－cos2x＋cos x；(2)y＝11cos x－?2＋. 解：(1)y＝－?2?4?∵－1≤cos x≤1， 11 ∴当cos x＝时，ymax＝. 24当cos x＝－1时，ymin＝－2. 1 －2，?. ∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是?4?? 2－sin x. 2＋sin x 4－2＋sin x4(2)y＝＝－1. 2＋sin x2＋sin x∵－1≤sin x≤1，∴1≤2＋sin x≤3， 11 ∴≤≤1， 32＋sin x44∴≤≤4， 32＋sin x 141∴≤－1≤3，即≤y≤3. 32＋sin x3 2－sin x1? ∴函数y＝的值域为??3，3?. 2＋sin x 规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为： ①sin x，cos x的有界性；②sin x，cos x的单调性；③化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y) 利用|f(y)|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数． 跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1) 解：y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5. π ∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4； 2π 当sin x＝－1时，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4. 2 所以ymax＝4，此时x的取值集合是 π??? ?xx＝2kπ＋，k∈Z?； 2??? π?? x＝2kπ－，k∈Z?. ymin＝－4，此时x的取值集合是?x?2? ? ? 一、选择题 π 1．函数y＝cosx(0≤x≤)的值域是( ) 31 A．[－1,1] B．[，1] 21 C．[0，] D．[－1,0] 2[答案] B π [解析] ∵函数y＝cosx在[0，]上是减函数， 3π1 ∴函数的值域为[cos，cos0]，即[，1]． 322．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为( ) A．2 B．0 1 C．－ 4[答案] B 31 cosx－?2－，当cosx＝1时，y最小＝0. [解析] y＝?2?4?3．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图像为( ) D．6 [答案] D [解析] y＝cosx＋|cosx| ?2cosx x∈[0，2]∪[2，2π]＝?π3π 0 x∈[，]?22 π3π ，故选D. 4．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 [答案] C [解析] 在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cosx的图像，如图所示． 发现有2个交点，所以方程|x|＝cosx有2个根． π 5．已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列命题正确的是( ) 2A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数 C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B [解析] 由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2， π 再f(x)＝sin(πx－)－1＝－cosπx－1， 2∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)．
语文版中职数学基础模块上册5.8《余弦函数的图像和性质》教案
