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等差数列·例题解析
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98．
代入an＝a1＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7 解得n＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{an} 由已知：a1＝－1，a5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7．
11【例3】 在等差数列－5，－3，－2，－，…的相邻两项之间
22插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
13解 原数列的公差d=?3? (－5)＝ ，所以新数列的公差d′=22
13d=，期通项为243323an??5?(n?1)?n?444
323即 an=n?44【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N
4m?3令an=bm，则3n＝4m－3?n＝为使n为整数，令m＝3k，
3得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)．
则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3
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∴n＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．
?(x－d)＋x＋(x＋d)=15 则?222?(x－d)＋x＋(x＋d)=83解得x＝5，d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．
111【例7】 若、、成等差数列，且a≠b，求证：a、b、c、不
abc可能是等差数列．
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c
111又∵、、成等差数列，abc
211∴??，即2ac＝b(a＋c)．bac∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac． 又∵ a、b、c不为0， ∴ a、b、c为等比数列， 又∴ a、b、c为等差数列，
∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾， ∴ 假设是错误的．
∴ a、b、c不可能成等差数列． 【例8】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证： ①对任意k∈N，关于x的方程 akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；
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1②若方程的另一根为xk，求证数列{}是等差数列；1?xk(2)在△ABC中，已知三边a、b、c成等差数列，求证：cotcotBC、cot也成等差数列．22A、 2分析与解答
(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0
∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2 ∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0 ∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0
ak?2∴ x＝－1或xk＝－ak11akak
???ak?2ak?ak?2?2d1?xk1?ak∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数
1∴方程有一公共根－1，数列{}是等差数列
1?xk(2)由条件得 2b=a＋c
∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC
BBA+CA?C∴4sincos=2sincos ∵A＋B＋C＝π 2222A+CB ∴ sin=cos22BA?C∴ 2sin=cos22分析至此，变形目标需明确，即要证
BAC2cot=cot＋cot
222由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
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ACA?CsinACcos2cos22cot?cot???ACAC22sinsinsinsin2222A?Csin2?(将条件代入)
1A?CA?C?(cos?cos)222B2cosB2???2cotBB2sin?2sin22ABC∴cot、cot、cot成等差数列．
222【例9】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：
111n ??…??a1?a2a2?a3an?an?1a1?an?1分析1?an?an?1an?an?1an?an?1?an?an?1?d
证明 设该数列的公差为d，则 a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d ∴a1－an+1=－nd
a1?an?1∴－d=n
a1?a2a2?a3an?an?1左式=??…?a1?a2a2?a3an?an?1??a1?an?1?da1?an?1
a1?an?1nn?右式a1?an?1?∴ 原等式成立．
【例10】 设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，
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b2，b3，y，b4均为等差数列，求b4?b3．
分析 可采用d＝am?anm?n解 由a2?a1y?x3?2=5?1b4?b3y?x6?4=5?2(2)÷(1)，得b4?b3a?a?8213a2?a1(1) (2)鑫达捷
人教B版高中数学必修五：2.2.1《等差数列》练习（新）.docx
