矩阵方程的简化求解方法

矩阵方程的简化求解方法

来源：文都教育

与通常意义上的方程类似，矩阵方程是指以矩阵为未知量的矩阵等式. 求解矩阵方程本质上就是矩阵的运算特别是矩阵乘法和求逆矩阵的运算，因此求解矩阵方程，求出未知矩阵的表达式应充分地利用矩阵的运算及其性质先化简，将其化为矩阵方程的以下几种基本形式：

(1)AX?B,(2)XA?B,(3)AXB?C.

若A和B均可逆，那么可求得待求矩阵分别为X?A?1B,X?BA?1,X?A?1CB?1.当A和B均不可逆时，常将矩阵方程用待定元素法转化为解线性方程组. 在实际的计算中，往往不可能恰好给出以上三种形式，需要经过一番整理和化简，再应用相关知识使其露出“庐山真面目”. 本文将就典型的情况，加以说明，为这类题目的简化求解提供帮助.

1. 对已知A?aA?bE?O，需求(A?kE)?1或(A?kE)（其中k为常数）的矩阵方程常用凑因子矩阵的方法来求解. 可将原方程化为(A?kE)B?E或者B(A?kE)?E的形式，从而B就是待求的A?kE的逆矩阵. 下面举例加以说明.

?1例1 设矩阵方程满足A?A?4E?O，其中E为单位矩阵，则(A?E)? .

22解 先对A与A两项分别凑出因子A?E，过程如下：

2A2?A?4E?O?(A2?E2)?E2?(A?E)?E?4E?O ?(A?E)(A?E)?(A?E)?2E ?(A?E)(A?E?E)?2E.

所以，(A?E)?1?(A?2E)2.

2. 求解AX?B或XA?B，其中A为不可逆矩阵

常用解方程组的方法来求解这类问题，通常设出所求矩阵的行数、列数及其待定元素，