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北京大学高等数学A期末考试试卷
2016~2017学年第2学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业 题号 得分 评阅人 得分 一 二 三 四 总分 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为。 2.设向量a?(2,1,2)，b?(4,?1,10)，c?b??a，且a?c，则??。 3．经过(4,0,?2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。 4．设u?xyz，则du?。 5．级数?(?1)nn?1?1，当p满足条件时级数条件收敛。 np得分 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2(xy?x)y'?y的通解是（） A．y?Ce2xB．y2?Ce2x C．y2e2y?CxD．e2y?Cxy 2．求极限A．
2?xy?4lim?（） (x,y)?(0,0)xy1111B．?C．?D．
22443．直线L:xyz??和平面?:3x?2y?7z?8?0的位置关系是（） 3?27A．直线L平行于平面?B．直线L在平面?上 C．直线L垂直于平面?D．直线L与平面?斜交
4．D是闭区域{(x,y)|a2?x2?y2?b2}，则??x2?y2d??（）
D2?34?33?3(b?a3)C．(b?a3)D．(b?a3)
23325．下列级数收敛的是（）
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A．
?(b3?a3)B．
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???11?n11A．?B．?2C．?D．?
3n(n?1)n?1(n?1)(n?4)2n?1n?1n?1n?1n?1?三、计1.求微
得分 算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的特解。
2.计算二重积分??Dx?ydxdy，其中D?{(x,y)x2?y2?1,x?y?1}。 22x?y?z?z?。 ?x?y3．设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求
4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时针方向。 L5.计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x，x??1及y?1所围成的区域。 D(?1)nn1?6．判断级数?的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n?1nn?1?7．将函数四、解1．抛物1展开成x的幂级数，并求其成立的区间。 (1?x)(2?x)得分 答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 (?1)nnxn2.求幂级数?的和函数。 n?1(n?1)!?3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)?1，g(0)?0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知 ?求f(x)和g(x)。
Lxydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?， D参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．{(x,y)|y2?2x?1?0}2．3
3．9y?z?2?04．yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz5．0?p?1 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 精心整理
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1．C2．C3．C4．B5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的特解。 解：先求y'?y?0的通解，得y?C1e?x………………2分
采用常数变易法，设y?h(x)e?x，得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分
1得h(x)?e2x?C………………5分
21故通解为y?ex?Ce?x………………6分 2313将初始条件x?0，y?2带入得C?，故特解为y?ex?e?x…………7分 2222.计算二重积分??DM
x?ydxdy，其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 22x?y解：设x?rcos?,则0???y?rsin?………………1分 ?2,1?r?1………………3分 sin??cos??1x?yrcos??rsin?2所以??2dxdy?d?rdr………………5分 122??0x?yrsin??cos?D???2(sin??cos??1)d?………………6分 0?4??………………7分 2?z?z?。 ?x?y3.设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求解：设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分 Fx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分
FyFx?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6分 ???,????xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]所以
?z?z??1………………7分 ?x?y4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时针方向。
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北京大学2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试题答卷
