5-16 如图（a）所示，一劲度系数为k的轻弹簧，其下挂有一质量为m1的空盘．现有一质量为m2的物体从盘上方高为h处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？
题5-16图
分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1变为
m1 + m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于A?2x0??v0/ω?，
2因此，确定初始速度v0和初始位移x0是求解振幅A的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v0，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x0时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x0，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．
解 （1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为
T?2π/ω?2πm1/k T??2π/ω??2π?m1?m2?/k
可见T′＞T，即振动周期变大了．
（2）如图（b）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即
x0?l1?l2?m1gm1?m2m?g??2g kkk式中l1?m1gm?m2为空盘静止时弹簧的伸长量，l2＝1g为物体粘在盘kk上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度
v0?m2m2v?2gh m1?m2m1?m2式中v?2gh是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为
2A?x0??v0/????2m2g2kh1? k(m1?m2)g本题也可用机械能守恒定律求振幅A．
5-17 质量为0.10kg的物体，以振幅1.0310-2 m作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ2s-1
求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度amax?A?2，由此可确定振动的周期T．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E＝kA2/2．当动能与势能相等时，Ek＝EP＝kA2/4．因而可求解本题． 解 （1）由分析可得振动周期 T?2π/ω?2πA/amax?0.314s
（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即
11mA2?2?mAamax 22?2.0?10?3JEk?E? （3）设振子在位移x0处动能与势能相等，则有
2kx0/2?kA2/4
得x0??2A/2??7.07?10?3m
（４）物体位移的大小为振幅的一半（即x?A/2）时的势能为
EP?121?A?kx?k???E/4 22?2?则动能为EK?E?EP?3E/4
5-18 一劲度系数k=312 N?m?1的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量m0?0.3kg的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为
m?0.2kg的物体，两物体间的最大静摩擦系数??0.5.求两物体间无
相对滑动时，系统振动的最大能量.
分析简谐运动系统的振动能量为E?Ek?Ep?kA2.因此只要求出两物体间无相对滑动条件下，该系统的最大振幅Amax即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑动，故可将它们视为一个整体，则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为??k.然后以m0?m12物体m为研究对象，它和m0一起作简谐运动所需的回复力是由两物体间静摩擦力来提供的.而其运动中所需最大静摩擦力应对应其运动
中具有最大加速度时，即?mg?mamax?m?2Amax，由此可求出Amax. 解根据分析，振动的角频率
??k m0?m由?mg?mamax?m?2Amax得
Amax??g(m0?m)?g 2?k则最大能量
121(m?m)?g2Emax?kAmax?k[0]22k 222(m?m)?g?0?9.62?10?3J2k
5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为
x1?0.05cos?10t?0.75π??m?；x2?0.06cos?10t?0.25π??m?．求：（1）合振动
的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动
x3?0.07cos?10t??3??m?，则?3为多少时，x1＋x3的振幅最大？又?3为多
少时，x2＋x3的振幅最小？
题5-19图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个
同方向、同频率简谐运动
的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅
A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1?，其大小与两个分振动的初相差?2??1相
关．而合振动的初相位
??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2?? ??arctan解 （1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为
Δ???2??1??π/2，故合振动振幅为
A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?10?2m
合振动初相位
??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2????arctan?arctan11?1.48rad
（2）要使x1＋x3振幅最大，即两振动同相，则由Δ??2kπ得
?3??1?2kπ?2kπ?0.75π,k?0,?1,?2,...
要使x1＋x3的振幅最小，即两振动反相，则由Δ???2k?1?π得
?3??2??2k?1?π?2kπ?1.25π,k?0,?1,?2,...
5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1和x2；（2）在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．
分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．
解 （1）由振动曲线可知，A＝0.1 ｍ，T＝2ｓ，则ω＝2π／T＝
物理学教程(第二版)上册第五章课后习题答案详解概要
