线性变换及其矩阵表示
张姗梅1，刘耀军2
【摘 要】线性变换是一个几何概念，矩阵是一个代数概念，它们之间的关系有可能用代数的方法来研究几何问题，反过来也可以用几何的方法来研究矩阵的问题。掌握了这种方法就是掌握了线性代数的核心。文章通过一些典型例子说明，借助矩阵工具可方便解决有关线性变换的问题，反过来，利用线性变换解决某些矩阵问题往往变得比较容易。
【期刊名称】山西大同大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2011(027)005 【总页数】4
【关键词】线性变换；矩阵；基；坐标；特征值
我们知道,取定有限维线性空间V的一个基,则V中向量的运算及向量间的关系的讨论可转化为向量坐标的讨论。同样,取定V的一个基,则V的线性变换的讨论可转化为其矩阵的讨论。本文通过一些实例说明,借助矩阵工具可方便解决有关线性变换的问题,反过来,利用线性变换解决某些矩阵问题往往变得比较容易。 设V是数域 P上 n维线性空间,α1，α2，…，αn是V的一个基,σ是V的一个线性变换,若（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））＝（α1，α2，…，αn）A，则称 A 为线性变换 σ 在基 α1，α2，… αn下的矩阵。
定理1 设 α1，α2，…，αn是数域P上n维线性空间V的一个基,则 f：σ→A(A是 σ 在基 α1，α2，…，αn下的矩阵）是V的线性变换集L（V）到P上n阶矩阵集Pn×n的一个双射。并且如果σ,τ∈L（V），而σ→A，τ→B，那么
σ＋τ→A＋B，στ→AB，aσ→aA（a∈P）。
定理1告诉我们,研究数域P上n维线性空间V的线性变换与研究Pn×n的矩阵没有什么本质的不同。由于矩阵的运算很具体,容易实现,因此将线性变换的讨论归结为矩阵的讨论,常使问题容易得到解决。
例1 用P［x］n表示数域P上次数小于n的多项式的全体添上零多项式所成的线性空间,设P［x］n的全体线性变换所成的线性空间为M,D为 P［x］n的微商变换（即D（f（x））＝f′（x）,对?f（x）∈P［x］n，且记M中与D可交换的线性变换的集合为N,即 N＝｛T∈M｜DT＝TD｝，
则N构成M的子空间。求N的维数及其一个基。
解 D∈M,取 P［x］n的一个基 1,x，x2/2！，…，xn－1/（n－1）！，则 D 在此基下的矩阵为
设T∈M在所给基下矩阵为B＝（bij）,则 TD＝DT?AB＝BA
?bi＋1，j＝bi，j－1，bn，j－1＝0，bi＋1，1＝0（i＝1，2，…，n－1；j＝2，3，…，n） 由于
b11B1＋b12B2＋…＋b1nBn。
并且B1，B2，…，Bn线性无关。 因此若设Ti∈M在所给基下的矩阵为Bi,则T1，T2，…，Tn是N的一个基,N的维数为n。
例2设σ，τ是n（n?0）维线性空间V的线性变换,证明:στ－τσ≠ε，ε是V的单位变换。
证明 取 V 的一个基 α1,α2，…，αn，设 σ，τ 在这个基下的矩阵分别为A＝（aij），B＝（bij）。则στ－τσ在这个基下的矩阵为AB－BA,而单位变换ε在该基下的矩阵为单位矩阵E。由 tr（AB－BA）＝tr（AB）－tr 以及tr（E）＝n可知AB－BA≠E,所以στ－τσ≠ε。
例3设σ是n维线性空间V的一个线性变换,存在V的基,使σ在该基下的矩阵为对角形,λ1，…，λs是σ的所有不同的特征值。 证明存在V的线性变换σ1,…，σs，使 为单位变换,且 i≠j时 σiσj＝0 而 σ2j＝σj，j＝1，2，…，s。 证明 由已知,可设 σ 在V的基 ε1，ε2，…，εn下的矩阵为对角阵 其中Ei为ni阶单位矩阵,则
σ（ε1，ε2，…，εn1）＝（ε1，ε2，…，εn1）λ1E1 σ（εn1＋n2＋…＋ns－1＋1，…，εn）＝
并且 A1＋…＋As＝E,当 i≠j时 AiAj＝0 而 A2j＝Aj，j＝1，2，…，s。
所以作V的线性变换 σi,使 σi在基 ε1，ε2，…，εn下的矩阵为Ai,则为单位变换),且 i≠j时 σiσj＝0 而 σ2j＝σj，j＝1，2，…，s。
例4 设σ，τ是数域P上n维线性空间V的线性变换,则στ与τσ有相同的特征值。
证明 取V的一个基 α1，α2,…，αn，设 στ在这个基下的矩阵分别为A，B,则στ与τσ在同一基下的矩阵分别为AB与BA，由线性变换特征值的求法,要证στ与τσ有相同的特征值,只需证AB与BA有相同的特征多项式。由 得
根据相似矩阵有相同的特征多项式,有 即
线性变换及其矩阵表示
