高一数学竞赛培训教材

由天下分享时间：2025/1/1 4:28:47 加入收藏我要投稿点赞

高中思维训练班《高一数学》

第1讲-----集合与函数(上)

『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代

1.定义M与P的差集为M-P={x | x∈M且x不∈P} ,若A={y | y=x }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M△N =（M-N)∪(N-M），求A△B

2.集合A={1,2,3}中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A={1,2,3,?,n},则所有子集的元素之和是 . 3.已知集合A?{a1,a2,a3,a4},222B?{a12,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4,并且都是正整数.若A?B?{a1,a4},a1?a4?10.且A?B中的所有元素之和为124,求集合A、B. *4. 函数f(n)??n?1000?n?3，求f(84)(本讲重点迭代法) f(f(n?5)),n?1000?n个5. 练习:定义:fn(x)?f(f(?f(x)?)),n?N*.已知f(x)是一次函数.当f10(x)?1024x?1023．求f(x)的解析???????式．(本讲重点迭代法) *6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x) (本讲重点顺序拼凑法) 『课后作业』: 7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=11且当n＞1时有f(n)51=2(n＋1)。求f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法) f(n?1)9.求集合A = {1,2,3,?,10}所有非空子集的元素之和 10.已知不等式ax+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx+bx+a＜0的解集作业答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10. x<1/n或x>1/m 答案: 1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A△B={x|-3≤x＜0或x＞3} 2. 【解】〖分析〗已知{1,2,?,n}的所有的子集共有2个.而对于?i?{1,2,?,n},显然{1,2,?,n}中包含i的子集与集合{1,2,?,i?1,i?1,?,n}的子集个数相等.这就说明i在集合{1,2,?,n}的所有子集中一共出现2的i求和,可得Sn?2=n?(n?1)?2. 3. 【解】?n?1n?122nn?1次,即对所有(?i). 集合{1,2,?,n}的所有子集的元素之和为2i?1nn?1(1?2???n)?2n?1?n(n?1) 2a1?a2?a3?a4,且A?B?{a1,a4},?a1?a1,又a1?N,所以a1?1.

222a?a4.a?aa?a?10a?934或4又1,可得4,并且2

221?3?a3?9?a3?81?124,a?5a3??6a?9a?322若,即,则有解得3或(舍)

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}. 此时有A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81若

2a3?9,即

a3?3,此时应有a2?2,则A?B中的所有元素之和为100?124.不合题意.

}. 综上可得, A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,815【解】

解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则 n次 f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1) f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1) b(1?a10)依次类推有：f10(x)=ax＋b(a＋a＋…＋a＋1)=ax＋ 1?a109810由题设知： b(1?a10)a=1024 且=1023 1?a10∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3 ∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3

8. 解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1 再依次令x=1，2，…，n－1，有 f(2)=f(1)＋2 f(3)=f(2)＋3 …… f(n－1)=f(n－2)＋(n－1) f(n)=f(n－1)＋n 依次代入，得 f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=n(n?1) 2∴f(x)=x(x?1) 2 (x∈N+)

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高中思维训练班《高一数学》

第2讲-----函数(下)

『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题 *1例 f(x)在x>0上为增函数,且f()?f(x)?f(y).求: xy(1)f(1)的值. (2)若f(6)?1,解不等式f(x?3)?f()?2 2例 f(x)对任意实数x与y都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2 (1) 求证:f(x)在R上是增函数 (2) 若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3 3练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) 求f(1)和f(1/9)的值 (2) 证明f(x)在x>1上是增函数 (3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x的取值范围 4例几个关于周期的常见的规律: 1xf(x?a)?f(x)f(x?a)??f(x) f(x?a)?1f(x)f(x?a)??1 f(x)5练习:f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________ A.f(2) = 0 B.f(x) = f(x+4) C.f(x)的图象关于直线x=0对称 D.f(x+2) = f(-x) 『课后作业』: 6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x和y都有f(xy) = f(x) + f(y). (1) 证明f(x)在x>0上为增函数 (2) 若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2 *7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－1?f(x),求证f(x)是周期函数 1?f(x)7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=

11且当n＞1时有

f(n)51=2(n＋1)。求f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)

f(n?1)9.求集合A = {1,2,3,?,10}所有非空子集的元素之和

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10.已知不等式ax+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx+bx+a＜0的解集

作业答案:6. 0

7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f（7）(本讲重点迭代法)

*8. 已知f(1)=

9.求集合A = {1,2,3,?,10}所有非空子集的元素之和

2210.已知不等式ax+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx+bx+a＜0的解集

11且当n＞1时有f(n)51=2(n＋1)。求f(n) (n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法) f(n?1) - 4 -

高中思维训练班《高一数学》第3讲-----函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题