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专题六 概率与统计 第1讲 概率与统计的基本问题练习 理
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 C.12
B.18 D.9
解析 从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B. 答案 B 2.下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y ＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ③回归方程y＝bx＋a必过(x，y)；
④有一个2×2列联表中，由计算得K＝13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.
其中错误的个数是( )
2
P(K2≥k0) k0 A.0 C.2
0.050 3.841 0.010 6.635 B.1 D.3
0.001 10.828 解析 一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y＝bx＋a必过点(x，y)，③正确；因为K＝13.079>10.828，故
2
有99.9%的把握确认这两个变量有关系，④正确.故选B. 答案 B
3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 1A. 83C. 8
5B. 87D. 8
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解析 由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有2种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同2－1－1147
学参加公益活动的概率为P＝＝＝. 4
2168答案 D
4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，
2
4
4
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
A.2 386 C.3 413
B.2 718 D.4 772
解析 由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6， 1
∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.
2∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝(古典概型)，
10 0001∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C. 答案 C
5.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
男 女 附：
做不到“光盘” 45 30 能做到“光盘” 10 15 xSP(K2≥k0) k0 2
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 n（ad－bc）2K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
参照附表，得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’ 与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
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D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 解析 由公式可计算K的观测值
2
n（ad－bc）2
k＝ （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
100×（45×15－30×10）＝≈3.03＞2.706，
55×45×75×25
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C. 答案 C 二、填空题
6.(2017·广州模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________.
解析 由所有小矩形的面积之和为1，得(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，得
2
a＝0.030.设身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组中分别抽取的人数为n1，n2，n3，则n1∶n2∶n3＝0.3∶0.2∶0.1＝3∶2∶1，又n1＋n2＋n3＝18，所以n3＝18×
＝3.
答案 0.030 3
7.设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ)，则函数f(x)＝x＋2x＋ξ不存在零点的概率是________.
解析 函数f(x)＝x＋2x＋ξ不存在零点，则Δ＝4－4ξ＜0，即ξ＞1.因为ξ～N(1，
2
2
2
1
3＋2＋1
σ2)，所以该正态曲线的对称轴是x＝1，根据正态曲线的性质得P(ξ＞1)＝.
1答案 2
8.(2016·江苏卷)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________. 解析 x＝
4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.51222
＝5.1，则方差s＝[(4.7－5.1)＋(4.8－5.1)＋
55
2
2
2
1
2
(5.1－5.1)＋(5.4－5.1)＋(5.5－5.1)]＝0.1. 答案 0.1 三、解答题
9.(2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：
注：年份代码1－7分别对应年份2008～2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
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创新设计全国通用2024届高考数学二轮复习专题六概率与统计第1讲概率与统计的基本问题练习理
