高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为( )
πππ5ππ2πA. 6 B. 3 C. 6或6 D. 3或3 2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 ( )
A．75° B．60° C．45° D．30° 3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )
5337A. 18 B. 4 C. 2 D. 8
5．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝
2( )
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定 二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝________.
7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B
＝2，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ________． 三、解答题
9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin
a
，
则
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C，求b.
10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求角C的大小；
3
（2）又若sin Asin B＝4，判断△ABC的形状．
11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，
3
且S＝4(a2＋b2－c2)． （1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B的最大值．
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答案及解析
a2＋c2－b23
1．【解析】由余弦定理cos B＝2ac，由a2＋c2－b2＝3ac，∴cos B＝2，又0＜B
π
＜π，∴B＝6. 【答案】A
13
2．【解析】S△ABC＝2×3×4sin C＝33，∴sin C＝2. ∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°. 【答案】B 3．【解析】由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，得a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13.
∴c2＞a2＋b2＝52＋112＝146，∴c2＞a2＋b2，根据余弦定理，易知△ABC为钝角三角形．
【答案】C 4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为
22＋22－127
＝8.
2×2×2【答案】D 5．【解析】∵∠C＝120°，c＝2a，∴由余弦定理，得(2a)2＝a2＋b2－2abcos 120°，故ab＝a2－b2＝
(a－b)(a＋b)＞0，∴a－b＞0，故a＞b. 【答案】A 6．【解析】∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3，∴c＝3，∴a＝c，则A＝C＝30°. 【答案】30°
πππab
7．【解析】∵sin B＋cos B＝2sin(B＋4)＝2，∴sin(B＋4)＝1，∴B＝4. 又sin A＝sin B，
1
得sin A＝2，
πA＝6.
π
【答案】6
π1
8．【解析】∵A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，∴2B＝A＋C，∴B＝3，又BD＝2BC＝2，
∴在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝3. 【答案】3
bc
9．【解析】法一 ∵sin B＝4cos Asin C，由正弦定理，得2R＝4cos A2R，∴b＝4ccos A，由余弦定理
b2＋c2－a2
得b＝4c·2bc，∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4. 法二 由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccos A，∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2，①
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bsin Bsin B
由正弦定理，得c＝sin C，又由已知得，sin C＝4cos A，∴b＝4ccos A．② 解①②得b＝4.
222a＋b－cab1
10．【解析】(1)由题设得a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝2ab＝2ab＝2，又C∈(0，π)，
π∴C＝3.
211
(2)由(1)知A＋B＝3π，∴cos(A＋B)＝－2，即cos Acos B－sin Asin B＝－2. 又sin Asin 3B＝4，
311
∴cos Acos B＝4－2＝4，从而cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝1，由A，B∈(0，π)，∴A－B＝0，即A＝B，从而△ABC为等边三角形．
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11．【解析】(1)由题意可知2absin C＝4·2abcos C，所以tan C＝3. 因0＜C＜π，故Cπ＝3.
2π3
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin(π－C－A)＝sin A＋sin(3－A)＝sin A＋2cos A＋1
2sin A
ππ2πππ5ππππ
＝3sin(A＋6)，∵C＝3，∴0＜A＜3，∴6＜A＋6＜6，∴当A＋6＝2，即A＝3时，
π
3sin(A＋6) 取最大值3. ∴sin A＋sin B的最大值为3.
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高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析
