初高中数学衔接 (一)绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?a,a?0,?|a|??0,a?0,
??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1、 解不等式：|x|?1
例2、 解不等式：|x?1|?2
例3、 解不等式：x?1?x?3＞4．
练习
1．填空题：
（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.
（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________ 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． 4．解下列不等式：
（1）x?3?2x?3?3 （2）x?1?x?3??4
(二)乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； （2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3； （2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；
（3）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； （5）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．
练习：
1．填空题：
121211； a?b?(b?a)（ ）
942322 （2）(4m? )?16m?4m?( )；
2222 (3 )(a?2b?c)?a?4b?c?( )．
12（4）若x?mx?k是一个完全平方式，则k等于
222 （5）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8与0的大小关系?
（1）
（三）二次根式（1）
一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而
2x?1，x2?2xy?y2，a2等是有理式． 21．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为2x2?有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式a2的意义
?a,a?0,
?a,a?0.?a2?a??例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)．
例2 计算：3?(3?3)．
例3 试比较下列各组数的大小：
2（1）12?11和11?10； （2）和22－6. 6?4
练习：
1．将下列式子化为最简二次根式：
（1）18b2 （2）27a2b4
2．计算：
2 2?23．比较下大小：5?7和11?13
（四）二次根式（2）
例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．
例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?
例 6 已知x?
练习
1．填空题： （1）1?2(0?x?1)． 2x3?23?2，求3x2?5xy?3y2的值 ． ,y?3?23?21?3＝__ ___；
1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___； （3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?(5)等式5x?1?x?1x?1?x?1，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?1x?x?2x成立的条件是 。 x?2（6）比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
a2?1?1?a22．若b?，求a?b的值．
a?1（五）分式 1．分式的意义
形如
AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有BBB下列性质：
AA?M?； BB?M 上述性质被称为分式的基本性质．
AA?M． ?BB?M 2．繁分式
am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2mc?dn?p5x?4AB??例1．若，求常数A,B的值．
x(x?2)xx?2111??例2．（1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1111 （2）计算：； ??L?1?22?39?101111??L??． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
c例3 设e?，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
a
练习:
1.对任意的正整数n，
1? ; n(n?2)2.若
2x?y2x?，则＝ ;
yx?y322 3．正数x,y满足x?y?2xy，求
x?y的值; x?y4．计算
1111． ???...?1?22?33?499?100 阶段复习
1．填空题：
1819（1）(2?3)(2?3)＝________；
（2）若(1?a)?(1?a)?2，则a的取值范围是________；
2211111?????________．
1?22?33?44?55?63a2?ab11? ； （4）a?，b?，则23a?5ab?2b223（3）
初高中数学衔接
